నీడ మరియు సమయం (Evening Shadow Logic)
ప్రశ్న: ఒక సాయంత్రం సూర్యాస్తమయానికి ముందు, రేఖ మరియు హేమ ఒకరికొకరు ఎదురెదురుగా నిలబడి మాట్లాడుకుంటున్నారు. ఒకవేళ హేమ నీడ, హేమకు సరిగ్గా కుడి వైపున పడితే, రేఖ ఏ దిశ వైపు చూస్తోంది?
వివరణ:
సాయంత్రం సూర్యుడు పడమరన ఉంటాడు, కాబట్టి నీడ ఎప్పుడూ తూర్పు వైపు పడుతుంది.
హేమ నీడ ఆమెకు కుడి వైపున పడుతోంది అంటే, హేమ ఉత్తరం వైపు చూస్తోంది (ఉత్తరం వైపు చూసేవారికి తూర్పు కుడి చేయి అవుతుంది).
రేఖ, హేమకు ఎదురుగా ఉంది కాబట్టి, రేఖ దక్షిణం వైపు చూస్తోంది.
జవాబు: దక్షిణం (South).
12. పైథాగరస్ మరియు మలుపుల సమ్మేళనం
ప్రశ్న: ఒక వ్యక్తి తన ఇంటి నుండి దక్షిణం వైపు 10 కి.మీ నడిచాడు. తర్వాత ఎడమకు తిరిగి 25 కి.మీ నడిచాడు. మళ్ళీ ఎడమకు తిరిగి 40 కి.మీ నడిచాడు. చివరిగా కుడి వైపుకు తిరిగి 5 కి.మీ నడిచాడు. ప్రారంభ స్థానం నుండి అతను ఎంత దూరంలో ఉన్నాడు?
వివరణ:
దక్షిణం 10 కి.మీ.
ఎడమ (తూర్పు) 25 కి.మీ.
మళ్ళీ ఎడమ (ఉత్తరం) 40 కి.మీ. (ఇక్కడ ఉత్తరం వైపు 40 లో 10 కి.మీ వెళ్తే స్టార్టింగ్ పాయింట్ లెవల్కు వస్తాడు, మిగిలిన 30 కి.మీ ఉత్తరం దిశలో పైకి ఉన్నాడు).
కుడి (తూర్పు) 5 కి.మీ.
ఇప్పుడు మొత్తం తూర్పు దూరం = 25 + 5 = 30 కి.మీ.
మొత్తం ఉత్తరం దూరం = 40 - 10 = 30 కి.మీ.
ప్రారంభ స్థానం నుండి దూరం = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800}.
దీన్ని 30\sqrt{2} కి.మీ అని రాయవచ్చు. (\sqrt{2} \approx 1.414 కాబట్టి దాదాపు 42.42 కి.మీ).
జవాబు: 30\sqrt{2} కి.మీ.
13. దిక్కుల మార్పిడి (Direction Displacement)
ప్రశ్న: ఆగ్నేయం (South-East) గనక ఉత్తరం (North) అయితే, ఈశాన్యం (North-East) గనక పడమర (West) అయితే, ఇదే క్రమంలో పడమర (West) ఏ దిశ అవుతుంది?
వివరణ:
అసలైన ఆగ్నేయం నుండి ఉత్తరం అవ్వడానికి గడియారం ముల్లుకు వ్యతిరేక దిశలో (Anti-clockwise) 135^\circ తిరగాలి.
అలాగే ఈశాన్యం నుండి పడమర అవ్వడానికి కూడా 135^\circ (Anti-clockwise) తిరగాలి.
ఇప్పుడు అసలైన పడమర నుండి 135^\circ (Anti-clockwise) తిరిగితే మనం ఆగ్నేయం (South-East) కు చేరుకుంటాం.
జవాబు: ఆగ్నేయం.
14. బహుళ వ్యక్తుల దిశలు (Group Positioning)
ప్రశ్న: ఐదుగురు స్నేహితులు A, B, C, D, E ఒక మైదానంలో ఉన్నారు. A కి తూర్పున 2 కి.మీ దూరంలో B ఉన్నాడు. B కి ఉత్తరాన 1 కి.మీ దూరంలో C ఉన్నాడు. C కి పడమరన 2 కి.మీ దూరంలో D ఉన్నాడు. D కి దక్షిణాన 2 కి.మీ దూరంలో E ఉన్నాడు. అయితే A కి, E ఏ దిశలో మరియు ఎంత దూరంలో ఉన్నాడు?
వివరణ:
A నుండి B (తూర్పు) = 2 కి.మీ.
B నుండి C (ఉత్తరం) = 1 కి.మీ.
C నుండి D (పడమర) = 2 కి.మీ. (ఇప్పుడు D సరిగ్గా A కి పైన ఉన్నాడు).
D నుండి E (దక్షిణం) = 2 కి.మీ. (అంటే D నుండి A కి 1 కి.మీ, అక్కడి నుండి కిందకు మరో 1 కి.మీ).
ఇప్పుడు E, A కి సరిగ్గా కింద (దక్షిణాన) 1 కి.మీ దూరంలో ఉన్నాడు.
జవాబు: 1 కి.మీ, దక్షిణం.
15. నది ప్రవాహం - దిశ (River Flow Logic)
ప్రశ్న: ఒక నది పడమర నుండి తూర్పుకు ప్రవహిస్తోంది. మార్గంలో అది ఎడమ వైపుకు తిరిగి, ఒక కొండ చుట్టూ అర్ధ వృత్తాకారం (Semi-circle) లో తిరిగి, మళ్ళీ మొదటి దిశలోనే (తూర్పుకు) ప్రవహిస్తోంది. కొండ వద్ద అది ఏ దిశలో ప్రవహించి ఉంటుంది?
వివరణ:
నది తూర్పుకు వెళ్తూ ఎడమకు తిరిగింది అంటే అది ఉత్తరం వైపుకు వెళ్ళింది.
అర్ధ వృత్తాకారంలో తిరిగిందంటే, ఉత్తరం నుండి మొదలై పడమర మీదుగా మళ్ళీ దక్షిణం వైపుకు వచ్చి ఉంటుంది (అప్పుడే మళ్ళీ తూర్పుకు వెళ్ళగలదు).
కాబట్టి కొండ చుట్టూ తిరిగే క్రమంలో అది ప్రధానంగా ఉత్తరం, పడమర మరియు దక్షిణ దిశలను తాకుతుంది.
కోణాల భ్రమణం (Complex Rotations)
ప్రశ్న: ఒక వ్యక్తి వాయువ్యం (North-West) దిశగా ముఖం చేసి ఉన్నాడు. అతను గడియారం ముల్లు తిరిగే దిశలో (CW) 90^\circ, ఆ తర్వాత వ్యతిరేక దిశలో (ACW) 180^\circ, మళ్ళీ అదే వ్యతిరేక దిశలో 90^\circ తిరిగాడు. ఇప్పుడు అతను ఏ దిశలో ఉన్నాడు?
వివరణ:
ప్రారంభ దిశ: వాయువ్యం (NW).
క్లాక్వైజ్ (CW) మొత్తం = 90^\circ.
యాంటీ-క్లాక్వైజ్ (ACW) మొత్తం = 180^\circ + 90^\circ = 270^\circ.
నికర వ్యత్యాసం = 270^\circ (ACW) - 90^\circ (CW) = 180^\circ (ACW).
ఏ దిశ నుండి అయినా 180^\circ తిరగడం అంటే దానికి సరిగ్గా వ్యతిరేక దిశకు చేరుకోవడం.
వాయువ్యానికి (NW) వ్యతిరేక దిశ ఆగ్నేయం (South-East).
జవాబు: ఆగ్నేయం.
17. రెండు రైళ్ళ దిశల లాజిక్
ప్రశ్న: ఒక రైలు ఉత్తరం నుండి దక్షిణానికి ప్రయాణిస్తోంది. గాలి పడమర నుండి తూర్పుకు వీస్తోంది. అయితే ఆ రైలు యొక్క పొగ ఏ దిశలో వెళ్తుంది?
వివరణ:
రైలు ఉత్తరం నుండి దక్షిణానికి వెళ్తుంటే, గాలి లేని సమయంలో దాని పొగ దానికి వ్యతిరేక దిశలో అంటే ఉత్తరం వైపు వెళ్తుంది.
కానీ గాలి పడమర నుండి తూర్పుకు వీస్తోంది కాబట్టి, ఆ పొగ తూర్పు వైపుకు నెట్టబడుతుంది.
కాబట్టి పొగ ఉత్తరం మరియు తూర్పుల మధ్యలో వెళ్తుంది.
జవాబు: ఈశాన్యం (North-East).
18. మార్కెట్ మరియు ఇంటి స్థానాలు
ప్రశ్న: రమ్య ఇంటికి దక్షిణాన మార్కెట్ ఉంది. మార్కెట్ కు తూర్పున పోస్ట్ ఆఫీస్ ఉంది. పోస్ట్ ఆఫీస్ నుండి రమ్య ఇల్లు ఏ దిశలో ఉంది?
వివరణ:
ఇంటిని మధ్యలో అనుకుంటే, దాని కింద (దక్షిణం) మార్కెట్ ఉంటుంది.
మార్కెట్ కు కుడివైపు (తూర్పు) పోస్ట్ ఆఫీస్ ఉంటుంది.
ఇప్పుడు పోస్ట్ ఆఫీస్ నుండి ఇంటికి ఒక గీత గీస్తే, అది పైకి (ఉత్తరం) మరియు ఎడమకు (పడమర) వెళ్తుంది.
ఉత్తరం మరియు పడమర మధ్య ఉండే దిశ వాయువ్యం (North-West).
జవాబు: వాయువ్యం.
19. ఎనిమిది మలుపుల ప్రశ్న (Square Path)
ప్రశ్న: ఒక వ్యక్తి ఒక చతురస్రాకారపు (Square) పార్కులో ఒక మూల నుండి మొదలుపెట్టి, ప్రతి భుజంపై 10 మీటర్లు నడిచి మూడు సార్లు కుడి మలుపులు తీసుకున్నాడు. అతను ఇప్పుడు ఏ దిశలో ఉన్నాడు మరియు ప్రారంభ స్థానం నుండి ఎంత దూరంలో ఉన్నాడు?
వివరణ:
అతను ఉత్తరం వైపు మొదలుపెట్టాడు అనుకుందాం.
1వ భుజం: 10 మీ (ఉత్తరం) - కుడి మలుపు.
2వ భుజం: 10 మీ (తూర్పు) - కుడి మలుపు.
3వ భుజం: 10 మీ (దక్షిణం).
ఇప్పుడు అతను తన ప్రారంభ స్థానానికి తూర్పు దిశలో 10 మీటర్ల దూరంలో ఉన్నాడు.
జవాబు: 10 మీటర్లు, ప్రారంభ స్థానానికి తూర్పున.
20. గడియారం - కోణం మరియు దిశ
ప్రశ్న: మధ్యాహ్నం 1:30 గంటలకు నిమిషాల ముల్లు దక్షిణం దిశను చూపిస్తుంటే, గంటల ముల్లు ఏ దిశను చూపిస్తుంది?
వివరణ:
1:30 గంటలకు నిమిషాల ముల్లు 6 అంకె మీద ఉంటుంది (అంటే దక్షిణం - ఇది సహజమైన దిశ).
గంటల ముల్లు 1 మరియు 2 మధ్యలో ఉంటుంది.
12 మరియు 3 మధ్యలో ఉండేది ఈశాన్యం (North-East). 1:30 గంటల సమయంలో గంటల ముల్లు ఈశాన్యం వైపే ఉంటుంది.
జవాబు: ఈశాన్యం.
21. ఇంటి నుండి ఆఫీసు మార్గం (Multi-turn Path)
ప్రశ్న: ఒక మహిళ తన ఇంటి నుండి బయలుదేరి ఉత్తరం వైపు 3 కి.మీ నడిచింది. ఆపై ఆమె ఎడమ వైపుకు తిరిగి 2 కి.మీ నడిచింది. మళ్ళీ ఎడమ వైపుకు తిరిగి 5 కి.మీ నడిచింది. చివరగా ఎడమ వైపుకు తిరిగి 2 కి.మీ నడిచి తన ఆఫీసుకు చేరుకుంది. ఆమె ఆఫీసు నుండి ఇల్లు ఏ దిశలో ఉంది?
వివరణ:
ఉత్తరం 3 కి.మీ.
ఎడమ (పడమర) 2 కి.మీ.
మళ్ళీ ఎడమ (దక్షిణం) 5 కి.మీ. (ప్రారంభ స్థానం దాటి 2 కి.మీ కిందకు వెళ్ళింది).
చివరగా ఎడమ (తూర్పు) 2 కి.మీ. (అంటే ఇప్పుడు ఆమె తన ఇంటికి సరిగ్గా కింద, అంటే దక్షిణాన ఉంది).
ఆమె ఆఫీసు నుండి ఇల్లు ఏ ది
శలో ఉంది అని అడిగారు. ఆఫీసు దక్షిణాన ఉంటే, ఇల్లు ఆఫీసుకు ఉత్తరం వైపున ఉంటుంది.
జవాబు: ఉత్తరం (North).