(చిత్రాల గణన) , "Counting Figures"
1. సమాంతర చతుర్భుజాలు మరియు దీర్ఘచతురస్రాలను లెక్కించడం (Counting Rectangles/Parallelograms)
సూత్రం: {n(n+1) / 2} * {m(m+1)/2}
ప్రశ్న 1: ఒక 3 * 2 గ్రిడ్లో ఎన్ని దీర్ఘచతురస్రాలు ఉంటాయి?
వివరణ:
అడ్డ వరుసల మొత్తం (Rows): 1 + 2 + 3 = 6
నిలువు వరుసల మొత్తం (Columns): 1 + 2 = 3
మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాలు: 6 * 3 = 18
జవాబు: 18
2. త్రిభుజాలలో త్రిభుజాలు (Triangles within Triangles - Type 2)
ప్రశ్న 2: ఒక పెద్ద త్రిభుజం లోపల గీతలు అడ్డంగా మరియు నిలువుగా ఉన్నప్పుడు (Vertical & Horizontal):
ఒక త్రిభుజం నిలువుగా 3 భాగాలుగా మరియు అడ్డంగా 2 అంతస్తులుగా (Floors) విభజించబడితే ఎన్ని త్రిభుజాలు ఉంటాయి?
వివరణ:
నిలువు విభజనల ప్రకారం: 1 + 2 + 3 = 6
అడ్డ వరుసలు (Floors): 2
మొత్తం: 6 * 2 = 12
జవాబు: 12
3. చతురస్రంలో త్రిభుజాలు (మరింత క్లిష్టమైనవి)
ప్రశ్న 3: ఒక చతురస్రం లోపల మరో చతురస్రం ఉండి, రెండింటికీ కర్ణాలు (Diagonals) ఉంటే ఎన్ని త్రిభుజాలు ఉంటాయి?
వివరణ:
లోపలి చతురస్రంలో 8 చిన్న త్రిభుజాలు ఉంటాయి: 8 \times 2 = 16
బయటి చతురస్రంలో కూడా 8 భాగాలు ఉంటాయి: 8 \times 2 = 16
మొత్తం: 16 + 16 = 32
జవాబు: 32
4. సరళ రేఖలను లెక్కించడం (Counting Straight Lines)
ఒక చిత్రాన్ని గీయడానికి కనీసం ఎన్ని సరళ రేఖలు అవసరమో అడుగుతారు. దీని కోసం అడ్డ గీతలు (Horizontal), నిలువు గీతలు (Vertical) మరియు వాలు గీతలు (Slanting) విడివిడిగా లెక్కించాలి.
ప్రశ్న 4: ఒక నక్షత్రం (Star - 5 points) గీయడానికి ఎన్ని సరళ రేఖలు కావాలి?
వివరణ: ఒక పెంటాగ్రామ్ (Star) గీయడానికి మనం పెన్ను ఎత్తకుండా 5 గీతలు గీస్తాము.
జవాబు: 5
5. సమరూప త్రిభుజాలు (Symmetric Triangles)
పెద్ద త్రిభుజం లోపల అనేక చిన్న త్రిభుజాలు అమర్చబడి ఉన్నప్పుడు (పిరమిడ్ ఆకారం):
ఒకవేళ భూమి (Base) వద్ద 3 త్రిభుజాలు ఉంటే (n=3): 13 త్రిభుజాలు.
ఒకవేళ భూమి వద్ద 4 త్రిభుజాలు ఉంటే (n=4): 27 త్రిభుజాలు.
ప్రాక్టీస్ టెస్ట్ (Quick Practice)
ప్రశ్న 4: ఒక త్రిభుజం భూమి (Base) 4 భాగాలుగా విభజించబడితే, అందులో మొత్తం ఎన్ని త్రిభుజాలు ఉంటాయి?
సాధన: n = 4. సూత్రం: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
జవాబు: 10
ప్రశ్న 5: ఒక 5 \times 4 గ్రిడ్లో (5 వరుసలు, 4 నిలువు వరుసలు) ఎన్ని చతురస్రాలు ఉంటాయి?
సాధన: పెద్ద సంఖ్యల నుండి మొదలుపెట్టి ఒక్కొక్కటి తగ్గించుకుంటూ గుణించి కూడాలి.
(5 \times 4) + (4 \times 3) + (3 \times 2) + (2 \times 1) = 20 + 12 + 6 + 2 = 40.
జవాబు: 40
ప్రశ్న 6: క్రింది చిత్రంలో ఎన్ని సమాంతర చతుర్భుజాలు (Parallelograms) ఉన్నాయి? (ఒక 3 * “ 3 గ్రిడ్ అనుకోండి)
సాధన: దీర్ఘచతురస్రాల సూత్రమే దీనికి కూడా వర్తిస్తుంది.
అడ్డ వరుసల మొత్తం: 1+2+3 = 6
నిలువు వరుసల మొత్తం: 1+2+3 = 6
మొత్తం: 6 * 6 = 36.
జవాబు: 36
Counting Figures" (చిత్రాల గణన) అంశంపై మరిన్ని అడ్వాన్స్డ్ మోడల్ ప్రశ్నలు మరియు వాటి పరిష్కార మార్గాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి. ఇవి మీ APPSC Group 1 మరియు Group 2 ప్రిపరేషన్కు ఎంతో తోడ్పడతాయి.
2. ఒకదానిలో ఒకటి ఉన్న చతురస్రాలు (Embedded Squares)
ప్రశ్న 1: ఒక పెద్ద చతురస్రం లోపల మరో చిన్న చతురస్రం ఉండి, పెద్ద చతురస్రాన్ని ప్లస్ (+) గుర్తుతో నాలుగు భాగాలుగా విభజిస్తే అందులో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉంటాయి?
వివరణ:
పెద్ద చతురస్రం మరియు లోపలి 4 చిన్న భాగాలు కలిపి = 5.
మధ్యలో ఉన్న చిన్న చతురస్రం = 1.
మొత్తం: 5 + 1 = 6.
ప్రశ్న 1: ఒక పెద్ద త్రిభుజం మధ్యలో ఒక బిందువు ఉండి, ఆ బిందువు నుండి మూడు శీర్షాలకు (Vertices) గీతలు గీస్తే, అందులో మొత్తం ఎన్ని త్రిభుజాలు ఉంటాయి?
సాధన: * లోపల ఏర్పడే చిన్న త్రిభుజాలు = 3.
పెద్ద వెలుపలి త్రిభుజం = 1.
మొత్తం = 4. (గమనిక: ఇక్కడ గీతలు కేవలం శీర్షాలను కలిపితే 4 వస్తాయి, కానీ ఆ గీతలు భుజాలను కూడా తాకితే సంఖ్య పెరుగుతుంది).
జవాబు: 4
ప్రశ్న 2: ఒక 4 \times 4 గ్రిడ్లో ఎన్ని దీర్ఘచతురస్రాలు (Rectangles) ఉంటాయి?
సాధన: దీర్ఘచతురస్రాల కోసం వరుసల సంఖ్యను కూడి, వాటిని గుణించాలి.
అడ్డ వరుసల మొత్తం (Rows): 1+2+3+4 = 10
నిలువు వరుసల మొత్తం (Columns): 1+2+3+4 = 10
మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాలు = 10 \times 10 = 100.
జవాబు: 100
ప్రశ్న 3: ఒక చతురస్రంలో రెండు కర్ణాలు (Diagonals) మరియు ఒక అడ్డ గీత, ఒక నిలువు గీత కేంద్రాన్ని దాటుతూ ఉంటే (8 చిన్న త్రిభుజాల విభజన), అందులో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉంటాయి?
సాధన: ఇటువంటి పటంలో త్రిభుజాలు 16 ఉంటాయి, కానీ చతురస్రాలు కేవలం లోపల ఏర్పడే చిన్న గ్రిడ్ల ద్వారా 5 మాత్రమే ఉంటాయి (4 చిన్నవి + 1 పెద్దది).
జవాబు: 5
4. మిశ్రమ త్రిభుజాలు (Complex Triangles) - మరిన్ని ప్రశ్నలు
నమూనా 4:
ప్రశ్న 51: ఒక పెద్ద త్రిభుజం లోపల ఒక చిన్న త్రిభుజం ఉంటే మొత్తం ఎన్ని?
జవాబు: 5 (4 \times 1 + 1)
ప్రశ్న 52: ఒక పెద్ద త్రిభుజం లోపల రెండు త్రిభుజాలు (ఒకదానిలో ఒకటి) ఉంటే?
జవాబు: 9 (4 \times 2 + 1)
ప్రశ్న 53: ఒక పెద్ద త్రిభుజం లోపల మూడు త్రిభుజాలు ఉంటే?
జవాబు: 13 (4 \times 3 + 1)
నమూనా 5:
ప్రశ్న 54: ఐదు కోణాల నక్షత్రం (5-pointed star) లో ఎన్ని త్రిభుజాలు ఉంటాయి?
జవాబు: 10 (5 చిన్నవి + 5 పెద్దవి)
ప్రశ్న 55: ఆరు కోణాల నక్షత్రం (6-pointed star - రెండు త్రిభుజాలు ఒకదానిపై ఒకటి తిరగేసి ఉన్నట్లు) లో ఎన్ని ఉంటాయి?
జవాబు: 8 (6 చిన్నవి + 2 పెద్దవి)
ప్రశ్న 56: ఒక గ్రిడ్లో అడ్డంగా 4 రేఖలు, నిలువుగా 4 రేఖలు ఒకదానికొకటి ఖండించుకుంటే ఎన్ని సమాంతర చతుర్భుజాలు ఏర్పడతాయి?
జవాబు: 36 (దీర్ఘచతురస్రాల సూత్రమే వర్తిస్తుంది: ^nC_2 \times ^mC_2)
ప్రశ్న 57: ఒక సంక్లిష్టమైన బొమ్మ ఇచ్చి, దాన్ని గీయడానికి కనీసం ఎన్ని సరళరేఖలు (Straight Lines) కావాలి అని అడుగుతారు.
చిట్కా: అడ్డ గీతలు + నిలువు గీతలు + వాలు గీతలు (Slant lines) విడివిడిగా లెక్కించాలి.
ప్రశ్న 58: ఒకదానికొకటి అంటుకుని ఉన్న 5 వృత్తాలు ఒక వరుసలో, పైన 4, దాని పైన 3 ఉంటే మొత్తం ఎన్ని వృత్తాలు?
జవాబు: 12 (వృత్తాలకు షార్ట్కట్ ఉండదు, నేరుగా లెక్కించడమే).
ప్రశ్న 59: ఒక ఘనం (Cube) పై అమర్చిన మరికొన్ని ఘనాల బొమ్మలో, కంటికి కనిపించని ఘనాలను ఎలా లెక్కించాలి?
జవాబు: బేస్ (Base) నుండి ఒక్కో అడుగు లో ఎన్ని ఉన్నాయో లెక్కించి కలపాలి.
అడ్డంగా మరియు నిలువుగా సమానంగా లేని చతురస్రాలు (M * N) + (M-1)(N-1) సున్నా వచ్చే వరకు.
: త్రిభుజంలో మధ్య గీత (Median) ఉన్నప్పుడు భాగాలుగా విభజించి కూడాలి (1+2 \dots).
వజ్రం ఆకారం (Diamond/Rhombus) లో చతురస్రాలు చతురస్రాల సూత్రమే వర్తిస్తుంది, కానీ తిరగేసి ఉంటుంది.
: స్టెప్ పిరమిడ్ త్రిభుజాలు n వరుసలు ఉన్నప్పుడు సూత్రం: {n(n+2)(2n+1)} / 8
2 \times 2 గ్రిడ్లో చతురస్రాల సంఖ్య?
జవాబు: 5 (1^2 + 2^2)
4 \times 4 గ్రిడ్లో చతురస్రాల సంఖ్య?
జవాబు: 30
3 \times 2 గ్రిడ్లో చతురస్రాల సంఖ్య?
జవాబు: 8 (3 * 2 + 2 * 1)
3 \times 3 గ్రిడ్లో దీర్ఘచతురస్రాల సంఖ్య?
జవాబు: 36 (6 * 6)
ఒక చతురస్రంలో రెండు కర్ణాలు గీస్తే ఎన్ని త్రిభుజాలు ఉంటాయి?
జవాబు: 8
చతురస్రంలో రెండు కర్ణాలు + ఒక అడ్డగీత + ఒక నిలువు గీత ఉంటే త్రిభుజాలు ఎన్ని?
జవాబు: 16
త్రిభుజం నిలువుగా 4 భాగాలుగా విభజించబడితే మొత్తం త్రిభుజాలు?
జవాబు: 10 (1+2+3+4)
త్రిభుజం నిలువుగా 5 భాగాలుగా విభజించబడితే?
జవాబు: 15
8-కోణాల నక్షత్రంలో (రెండు త్రిభుజాలు ఒకదానిపై ఒకటి) త్రిభుజాలు ఎన్ని?
జవాబు: 8
5-కోణాల నక్షత్రంలో (పెంటాగ్రామ్) త్రిభుజాలు ఎన్ని?
జవాబు: 10
పిరమిడ్ త్రిభుజంలో భూమి (Base) వద్ద 3 త్రిభుజాలు ఉంటే మొత్తం ఎన్ని?
జవాబు: 13
పిరమిడ్ త్రిభుజంలో భూమి వద్ద 4 త్రిభుజాలు ఉంటే?
జవాబు: 27
ఒక సమఘనం (Cube) లో ఎన్ని ముఖాలు (Faces) ఉంటాయి?
జవాబు: 6
ఒక సమఘనంలో ఎన్ని శీర్షాలు (Vertices) ఉంటాయి?
జవాబు: 8
ఒక సమఘనంలో ఎన్ని అంచులు (Edges) ఉంటాయి?
జవాబు: 12
ఒక వృత్తం లోపల మరో వృత్తం ఉంటే మొత్తం వృత్తాలు?
జవాబు: 2
రెండు సమాంతర రేఖలను ఒక తిర్యగ్రేఖ ఖండిస్తే ఎన్ని కోణాలు ఏర్పడతాయి?
జవాబు: 8
ఒక షడ్భుజి (Hexagon) లో ఎన్ని త్రిభుజాలు ఉంటాయి (కేంద్రం నుండి శీర్షాలను కలిపితే)?
జవాబు: 6
ఒక గ్రిడ్ 5 \times 2 అయితే దీర్ఘచతురస్రాల సంఖ్య?
జవాబు: 45 (15 \times 3)
3 \times 3 గ్రిడ్లో కేవలం దీర్ఘచతురస్రాలు (చతురస్రాలు కాకుండా) ఎన్ని?
జవాబు: 22 (36 - 14)
త్రిభుజం లోపల మరో త్రిభుజం ఉంటే మొత్తం త్రిభుజాలు?
జవాబు: 5
ఒక చతురస్రంలో ఒక కర్ణం గీస్తే ఎన్ని త్రిభుజాలు?
జవాబు: 2
రెండు చతురస్రాలు పక్కపక్కన కలిపి ఉంటే (ప్రతిదానిలో 2 కర్ణాలు ఉంటే) మొత్తం త్రిభుజాలు?
జవాబు: 18 (8+8 మరియు కలిసిన చోట 2 పెద్దవి)
ఒక పెంటాగన్ (Pentagon) లో ఎన్ని భుజాలు ఉంటాయి?
జవాబు: 5
ఒక గాలిపటం (Kite) ఆకారంలో కనీసం ఎన్ని త్రిభుజాలు ఉంటాయి?
జవాబు: 4 (కర్ణాల విభజన ద్వారా)