దిశలు మరియు దూరాలకు (Direction and Distance) సంబంధించిన సమస్యలు లాజికల్ రీజనింగ్లో చాలా ముఖ్యమైనవి. ఈ లెక్కలను సులభంగా అర్థం చేసుకోవడానికి క్రింది వివరణ మరియు ఉదాహరణలు మీకు ఉపయోగపడతాయి.
దిశల అవగాహన (The Directions)
ముందుగా ప్రధానమైన నాలుగు దిశలు మరియు వాటి మధ్య ఉండే నాలుగు మూలలను గుర్తుంచుకోవాలి:
ప్రధాన దిశలు:
మూలలు:
ఈశాన్యం (NE),
వాయువ్యం (NW),
ఆగ్నేయం (SE),
నైరుతి (SW).
ముఖ్యమైన సూత్రాలు
కుడి మరియు ఎడమ మలుపులు:మీరు ఉత్తరం వైపు చూస్తుంటే: కుడి అంటే తూర్పు, ఎడమ అంటే పడమర.
మీరు దక్షిణం వైపు చూస్తుంటే: కుడి అంటే పడమర, ఎడమ అంటే తూర్పు.
మీరు తూర్పు వైపు చూస్తుంటే: కుడి అంటే దక్షిణం, ఎడమ అంటే ఉత్తరం.
మీరు పడమర వైపు చూస్తుంటే: కుడి అంటే ఉత్తరం, ఎడమ అంటే దక్షిణం.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం (Pythagoras Theorem):
ప్రారంభ స్థానం నుండి ముగింపు స్థానానికి మధ్య ఉన్న "అతి తక్కువ
దూరం" కనుగొనడానికి దీనిని ఉపయోగిస్తాము:
ప్రాక్టీస్ ప్రశ్నలు (Practice Problems)
ప్రశ్న 1:
ఒక వ్యక్తి తన ఇంటి నుండి బయలుదేరి 10 కి.మీ ఉత్తరం వైపు నడిచాడు.
అక్కడ నుండి కుడి వైపుకు తిరిగి 8 కి.మీ నడిచాడు. చివరగా మరొకసారి
కుడి వైపుకు తిరిగి 10 కి.మీ నడిచాడు.
ప్రశ్న: ఇప్పుడు అతను తన ప్రారంభ స్థానం నుండి ఏ దిశలో ఉన్నాడు?
సాధన:
మొదట 10 కి.మీ ఉత్తరం.
కుడి మలుపు అంటే తూర్పు వైపు 8 కి.మీ.
మళ్ళీ కుడి మలుపు అంటే దక్షిణం వైపు 10 కి.మీ (ఇది ప్రారంభ స్థానానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది).
జవాబు: అతను ప్రారంభ స్థానం నుండి 8 కి.మీ తూర్పు (East) దిశలో ఉన్నాడు.
ప్రశ్న 2:
ఒక బాలుడు పడమర దిశలో 4 కి.మీ నడిచి, ఆపై ఎడమ వైపుకు తిరిగి 3 కి.మీ నడిచాడు.
ప్రశ్న: ప్రారంభ స్థానం నుండి అతను ఎంత దూరంలో ఉన్నాడు?
సాధన:
ఇక్కడ లంబకోణ త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది. భుజాలు 4 కి.మీ మరియు
3 కి.మీ.
జవాబు: 5 కి.మీ.
ప్రశ్న 3:
ఒక సాయంత్రం సూర్యాస్తమయానికి ముందు, రవి మరియు కిరణ్
ఒకరికొకరు ఎదురెదురుగా నిలబడి మాట్లాడుకుంటున్నారు. రవి యొక్క
నీడ కిరణ్కు సరిగ్గా కుడి వైపున పడితే, రవి ఏ దిశ వైపు చూస్తున్నాడు?
లాజిక్: సాయంత్రం సమయంలో సూర్యుడు పడమరన ఉంటాడు, కాబట్టి
నీడ ఎప్పుడూ తూర్పు వైపు పడుతుంది.
వివరణ: కిరణ్కు కుడి వైపున నీడ పడుతుందంటే, కిరణ్కు కుడి వైపు
తూర్పు అని అర్థం. ఒక వ్యక్తికి కుడి వైపు తూర్పు ఉందంటే, అతను ఉత్తరం
వైపు చూస్తున్నాడు. కిరణ్ ఉత్తరం చూస్తుంటే, అతనికి ఎదురుగా
ఉన్న రవి దక్షిణం చూస్తున్నాడు
.
జవాబు: రవి దక్షిణం (South) వైపు చూస్తున్నాడు.
కోణాల ఆధారంగా మలుపులు (Turns Based on Degrees)
సాధారణంగా లెక్కల్లో "కుడి వైపుకు తిరిగాడు" లేదా "ఎడమ వైపుకు తిరిగాడు" అని ఇస్తే, అది 90° మలుపు
అని మనం భావించాలి.
కానీ కొన్నిసార్లు ప్రత్యేకంగా కోణాలను పేర్కొన్నప్పుడు ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవాలి:
1. ప్రాథమిక కోణాలు
90° మలుపు: ఇది పూర్తి కుడి లేదా పూర్తి ఎడమ మలుపు. (ఉదాహరణకు: ఉత్తరం
నుండి తూర్పుకు మారడం).
45° మలుపు: ఇది ఒక దిశ మరియు మూల మధ్య ఉండే మలుపు. (ఉదాహరణకు:
ఉత్తరం నుండి ఈశాన్యానికి మారడం).
135° మలుపు: ఇది ఒక 90° మలుపు మరియు ఒక 45° మలుపు కలయిక.
180° మలుపు: ఇది పూర్తిగా వెనక్కి తిరగడం (Opposite direction).
2. తిరిగే దిశలు (Direction of Rotation)
సవ్యదిశ (Clockwise - CW): గడియారం ముల్లు తిరిగే దిశలో (కుడి వైపుకు) తిరగడం.
అపసవ్యదిశ (Anti-clockwise - ACW): గడియారం ముల్లుకు వ్యతిరేక దిశలో (ఎడమ వైపుకు) తిరగడం.
3. ఉదాహరణ లెక్క
ప్రశ్న: ఒక వ్యక్తి ఉత్తరం వైపు చూస్తున్నాడు. అతను సవ్యదిశలో (Clockwise) 45° తిరిగి, ఆపై అపసవ్యదిశలో
(Anti-clockwise) 135° తిరిగాడు. ఇప్పుడు అతను ఏ దిశలో ఉన్నాడు?
సాధన:
మొదట: ఉత్తరం (0°).
సవ్యదిశలో 45°: ఇప్పుడు అతను ఈశాన్యం (North-East) వైపు ఉన్నాడు.అపసవ్యదిశలో 135°: ఈశాన్యం
నుండి వెనక్కి 135° లెక్కిస్తే..(45° ఉత్తరం వరకు + 90° పడమర వరకు).
జవాబు: అతను ఇప్పుడు పడమర (West) దిశలో ఉన్నాడు.
గుర్తుంచుకోవలసిన సూత్రం:
పరీక్షలో ఇలాంటి ప్రశ్నలు ఇచ్చినప్పుడు, అన్ని సవ్యదిశ కోణాలను ఒకచోట, అపసవ్యదిశ కోణాలను
మరొకచోట కూడి, వాటి మధ్య తేడాను (Difference) కనుగొంటే జవాబు వేగంగా వస్తుంది.
ఉదాహరణకు: (మొత్తం సవ్యదిశ డిగ్రీలు) - (మొత్తం అపసవ్యదిశ డిగ్రీలు) = మిగిలిన కోణం.
ఆ మిగిలిన కోణం ఏ దిశలో ఎక్కువ ఉంటే అటువైపు తిరిగితే సరిపోతుంది
పరీక్షల్లో వేగంగా చేయడానికి చిట్కాలు
ప్రశ్న చదువుతున్నప్పుడే ఒక చిన్న పటాన్ని (Diagram) గీయండి.
ప్రారంభ స్థానాన్ని ఎప్పుడూ ఒక చుక్కతో (Dot) గుర్తించండి.
మలుపులు తిరిగేటప్పుడు మీరే ఆ దిశలో నడుస్తున్నట్లు ఊహించుకుంటే కుడి, ఎడమల మధ్య గందరగోళం ఉండదు.
గమనించాల్సిన ముఖ్యమైన ట్రిక్స్:
ఉదయం / సాయంత్రం: ఉదయం పూట ముఖం తూర్పున ఉంటే నీడ వెనుక పడుతుంది. ముఖం పడమర ఉంటే నీడ ముందు పడుతుంది.
లంబకోణ త్రిభుజం: దూరం అడిగినప్పుడు ఎప్పుడూ షార్ట్కట్ (Straight line) దూరమే కనుగొనాలి.
సరిగ్గా వెనుకకు: 180 డిగ్రీల మలుపు అన్నప్పుడు నేరుగా ఆపోజిట్ డైరెక్షన్ తీసుకోవడం సులభం.
గుర్తుంచుకోవలసిన షార్ట్కట్స్:
పైథాగరస్ త్రిప్రాశలు (Triplets): (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (9, 40, 41). ఇవి గుర్తుంటే లెక్కలు వేగంగా చేయవచ్చు.
180 డిగ్రీల మలుపు: ప్రశ్నలో 180 డిగ్రీల మలుపు ఉంటే, ఆలోచించకుండా వ్యతిరేక దిశను తీసుకో
వచ్చు.