clock(basic)

గడియారం పై వివిధ ప్రశ్నలను రీజనింగ్ విభాగం లో ఇస్తున్నాడు. వీటిని సాధించుటకు

 గడియారం గురించి క్షుణ్ణం గా అధ్యనం చేద్దాం. గడియారం లో మొత్తం మూడు  ముల్లు ఉంటాయి. ఇందులో గంటలను సూచించే ముల్లును గంటలముల్లు అని, నిమిషాలను సూచించే ముల్లును నిమిషాల  ముళ్ళు అని ,సెకండ్లను సూచించే ముల్లును సెకండ్లముల్లు అని అంటారు.

 గంటలముల్లు అన్నిటికంటే పొట్టిగాను, నిమిషాల  ముళ్ళు అన్నిటి కంటే పొడవు గాను  సెకండ్లముల్లు అన్నిటి కంటే సన్నగాను ఉంటాయి.

గడియారం లో మొత్తం ముళ్ళు ఒక పూర్తి వృత్తం ను చుట్టును. ఇవి వివిధ కాలపరిమితిలో వృత్తంను పూర్తిగా  చుట్టడంలో 360˚ కోణంను పూర్తి చేయును. వాటి గురించి ఇప్పుడు తెలుసుకుందాం. 

గంటలముల్లు:

గంటలముల్లు360 పూర్తీ చేయుటకు 12 గంటల సమయం పడుతుంది.రోజులో గంటల 

ముళ్ళు 2 సార్లు 360˚ చుట్టును.
గంటలముల్లు గంటకి   చేసేకోణం =360/12=30˚ డిగ్రీలు 
గంటలముల్లు నిమిషానికి  చేసేకోణం=30/60=(1/2)˚ డిగ్రీలు లేదా 0.5˚ డిగ్రీలు
గంటల ముళ్ళు ఒక సెకను  లో చేయు కోణం = (1/120)˚ డిగ్రీలు 

నిమిషాలముల్లు:

      నిమిషాల ముళ్ళు 360˚ కోణంను పూర్తి చేయుటకు ఒక  గంట  పట్టును అనగా  నిమిషాల ముళ్ళు ఒక గంట లో చేయు కోణం 360˚ డిగ్రీలు 

నిమిషాల ముళ్ళు ఒక నిమిష0  లో చేయు కోణం = 360/60  = 6˚ డిగ్రీలు 

 సెకండ్ల ముళ్ళు :

 సెకండ్ల ముళ్ళు ఒక నిమిషానికి కి 360 డిగ్రీలు  పూర్తి చేస్తుంది

  సెకండ్ కి 6 డిగ్రీలు పూర్తి చేస్తుంది 

సెకన్ల ముల్లు గంట లో  60 సార్లు గడియారం ను చుట్టును అనగా గంటలో 360 డిగ్రీ లను 60 సార్లు పూర్తి చేయును 

 పై వివరణ అంతా  అవగాహన  కోసం మాత్రమే  ముఖ్యంగా వీటికి సంబంధించిన సమస్యలను సాధించుటకు  క్రింద ఇచ్చే సూత్రాలను  గుర్తించుకోవాలి

వివిధ సందర్భాలను బట్టి  సూత్రాలు  గుర్తుంచుకోవలసి ఉంటుంది

NOTE :-

సాధారణంగా ఈ సమస్యలు గంటల ముల్లు, నిమిషాల ముల్లు మద్య ఉంటాయి సెకండ్ ముల్లు

ప్రస్తావన ఉండదు

గంట గంట కి మధ్య కోణం30 డిగ్రీలు ఉంటుంది

క్విక్ టిప్స్ (Quick Exam Tips)

ఏకీభవించడం (Coincide - 0^\circ): ప్రతి గంటకు ఒకసారి ముల్లులు కలుస్తాయి (12 గంటలలో 11 సార్లు).

వ్యతిరేక దిశ (180^\circ): ప్రతి గంటకు ఒకసారి జరుగుతుంది (12 గంటలలో 11 సార్లు).  

లంబ కోణం (90^\circ): ప్రతి గంటకు రెండుసార్లు జరుగుతుంది (12 గంటలలో 22 సార్లు).

  ఉదా: ఈ ఉదాహరణ ద్వారా పైన ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ గురించి పూర్తిగా తెలుసుకుందాం

ఉదాహరణకు  మధ్యాహ్నం  రెండు గంటల నుండి మూడు గంటల కి  చేరుకొనుటకు గంటల ముల్లు 30 డిగ్రీలు  పూర్తి చేయును ఇదేవిధంగా  అన్ని గంటల మధ్య  గంట గంటకి కోణం 30 డిగ్రీలు ఉంటుంది 

30 డిగ్రీలు *12 = 360 డిగ్రీలు

ప్రతి సందర్భంలోనూ  గడియారం కి సంబంధించిన  బొమ్మలు గీయడం  వల్ల  గడియారపు

లెక్కలను సులువుగా సాధించవచ్చు

సందర్భం 1 

గంటల ముల్లు నిమిషాల ముల్లు మద్య కోణం కనుగొనుట

నిమిషాల ముల్లు 60 నిమిషాలు పూర్తి చేసినప్పుడు గంటల ముల్లు30 డిగ్రీలు కదులుతుంది

60 నిమిషాలు =30 డిగ్రీలు

అనగా 

ఉదాహరణ 1

5 నిమిషాలకు గంటల ముల్లు చేసే కోణం ?

60 min =30

5 = ?

Cross multiplication

(30*5)/60 = 2.5 డిగ్రీలు

ఉదాహరణ 2

10 నిమిషాలకు గంటల ముల్లు చేసే కోణం ?

60 min =30

10 = ?

Cross multiplication

(30*10)/60 = 5 డిగ్రీలు

ఉదాహరణ 2

30 నిమిషాలకు గంటల ముల్లు చేసే కోణం ?

60 min =30

10 = ?

Cross multiplication

(30*30)/60 = 15 డిగ్రీలు

పైన ఇచ్చిన ఉదాహరణలు  బట్టి ఇచ్చిన నిమిషాలను 2 చే భావిస్తే గంటల

  ముళ్ళు చేసే 

కోణం వస్తుంది  

  5  నిమిషాలకు         =    5 / 2         =    2.5

10   నిమిషాలకు       =   10 / 2        =       5

15   నిమిషాలకు       =   15 / 2        =    7. 5

30   నిమిషాలకు       =   30 / 2        =     1 5

పైన ఇచ్చిన  నిబంధనలను అనుసరించి  గంటల  ముళ్ళు ,  నిమిషాల ముల్లు  మధ్య కోణాన్ని  గుర్తించవచ్చు 

ప్రశ్న 1 

5 గంటల 20 నిమిషాల ఆ సమయంలో  గంటల  ముళ్ళు ,  నిమిషాల ముల్లు  మధ్య కోణాన్ని గుర్తించండి ?

డియారం కి సంబంధించిన  బొమ్మలు గీయడం  వల్ల  గడియారపు లెక్కలను సులువుగా

సాధించవచ్చు

5 గంటల 20 నిమిషాల ఆ సమయంలో  గంటల  ముళ్ళు  5,6 గంటల

మధ్య  ఉంటుంది 

5 గంటల 20 నిమిషాల సమయంలో నిమిషాల ముళ్ళు 4 దగ్గర

  ఉంటుంది అనగా 4 ,5 ల మధ్య కోణం 30 డిగ్రీలు మరియు

20 నిమిషాలకు గంటల ముళ్ళు చేసే కోణం 20 / 2  =10 డిగ్రీలు

కావున 

5 గంటల 20 నిమిషాల సమయంలో గంటల ముళ్ళు , నిమిషాల ముల్లు

  మధ్య కోణం =  30 + 10 = 40 డిగ్రీలు

ఫార్ములా పద్ధతి 

Θ = | 30 H - 11 / 2 M | 

ఇక్కడ 

 

H = HOUR

M = MINUTES

ఫార్ములా పద్ధతి లో 180° కంటే ఎక్కువ కోణం వస్తే అది ప్రతిబింబ కోణం

అవుతుంది అప్పుడు

వచ్చిన కోణం ని 360° కోణం నుంచి తీసివేస్తే సమాధానం వస్తుంది 

ఈ విధానంలో ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం 

5 గంటల 20 నిమిషాల ఆ సమయంలో  గంటల  ముళ్ళు ,  నిమిషాల

ముల్లు  మధ్య కోణాన్ని గుర్తించండి ?

H =hour = 5

M = Mint = 20 min

Θ = 30 H - 11 / 2 ( M ) 

Θ = ( 30 * 5 ) - 11 / 2 (20)

Θ = ( 150 ) - 11 / 2 *  ( 20 )

Θ = 150 - 110

Θ = 150 - 110 = 40

5 గంటల 20 నిమిషాల సమయంలో గంటల ముళ్ళు , నిమిషాల ముల్లు మధ్య కోణం =  30 + 10 = 40 డిగ్రీలు

సందర్భం 2

ముఖ్యమైన విషయాలు (Key Points):

ప్రతి గంటకు ఒకసారి ముల్లులు 0^\circ కోణంలోకి వస్తాయి.

కానీ, 12 గంటల కాలంలో కేవలం 11 సార్లు మాత్రమే ఏకీభవిస్తాయి

(ఎందుకంటే 11 నుండి 1 గంట మధ్యలో సరిగ్గా 12 గంటల వద్ద మాత్రమే అవి కలుస్తాయి).

24 గంటల కాలంలో (ఒక రోజులో) మొత్తం 22 సార్లు ముల్లులు ఒకదానిపై ఒకటి వస్తాయి.

ఏకీభవించే సమయాన్ని కనుగొనే షార్ట్‌కట్ సూత్రం:

గంటల ముల్లు నిమిషాల ముల్లు కలుసుకునే స్థానం

( గంటల ముల్లు నిమిషాల ముల్లు మద్య కోణం = 0 )

సమయం = 60/11 x H

[ H = ప్రారంభ సమయం ]

ప్రశ్న 1: 3 మరియు 4 గంటల మధ్య ఏ సమయంలో రెండు ముల్లులు ఏకీభవిస్తాయి?

వివరణ: ఇక్కడ H = 3.

సూత్రం ప్రకారం: {60 / 11} * 3 = {180 / 11} = 16 4}{11} నిమిషాలు.

జవాబు: 3 గంటల 16 {4/11} నిమిషాలకు.

ప్రశ్న 2: 7 మరియు 8 గంటల మధ్య గంటల ముల్లు, నిమిషాల ముల్లు ఏ సమయంలో కలుస్తాయి?

వివరణ: ఇక్కడ H = 7.

సూత్రం ప్రకారం: {60/11} * 7 = {420 / 11} = 38 {2 / 11} నిమిషాలు.

జవాబు: 7 గంటల 38 {2 / 11} నిమిషాలకు

ప్రశ్న 3: ఒక రోజులో (24 గంటలలో) గడియారంలోని రెండు ముల్లులు ఎన్నిసార్లు

ఏకీభవిస్తాయి?

A) 24 సార్లు

B) 22 సార్లు

C) 21 సార్లు

D) 12 సార్లు

జవాబు: B) 22 సార్లు. (ప్రతి 12 గంటలకు 11 సార్లు చొప్పున, 24 గంటలకు 22 సార్లు.

ప్రశ్న 4: మధ్యాహ్నం 11 నుండి 1 గంటల మధ్య ముల్లులు ఎన్నిసార్లు కలుస్తాయి?

వివరణ: 11 నుండి 12 వరకు మరియు 12 నుండి 1 వరకు కలిపి, సరిగ్గా 12:00 గంటల వద్ద మాత్రమే ముల్లులు ఏకీభవిస్తాయి.

జవాబు: కేవలం 1 సారి మాత్రమే.

వ్యతిరేక దిశ (180° కోణం)

​రెండు ముల్లులు ఒకే సరళరేఖపై ఉండి, ఒకదానికొకటి వ్యతిరేక దిశలో ఉన్నప్పుడు వాటి మధ్య కోణం 180° ఉంటుంది.

​ముఖ్య సూత్రం: సమయం = 60/11 x H (H +/- 6)

(గమనిక: H < 6 అయితే +6 తీసుకోవాలి, H > 6 అయితే -6 తీసుకోవాలి)

​ప్రశ్న 1: 8 మరియు 9 గంటల మధ్య ఏ సమయంలో రెండు ముల్లులు వ్యతిరేక దిశలో ఉంటాయి?

​వివరణ: ఇక్కడ H = 8. ఇది 6 కంటే పెద్దది కాబట్టి (8 - 6) = 2 తీసుకోవాలి.

​నిమిషాలు = {60/11} * 2 = {120 / 11} = 10 {10/11} నిమిషాలు.

​జవాబు: 8 గంటల 10 {10/11} నిమిషాలకు.

​2. లంబ కోణం (90° కోణం)

​ప్రతి గంటకు రెండు ముల్లులు రెండుసార్లు లంబ కోణంలో (90°) ఉంటాయి.

​ముఖ్య సూత్రం: సమయం = 60/11 x H (H +/- 3)

(గమనిక :మొదటిసారి అంటే - 3 తీసుకోవాలి, రెండోసారి అంటే + 3 తీసుకోవాలి )

​ప్రశ్న 2: 4 మరియు 5 గంటల మధ్య మొదటిసారి లంబ కోణం ఎప్పుడు ఏర్పడుతుంది?

​వివరణ: మొదటిసారి అంటే (4 - 3) = 1 తీసుకోవాలి.

​నిమిషాలు = {60/11} 1 = 5 {5 / 11} నిమిషాలు.

​జవాబు: 4 గంటల 5 {5/11} నిమిషాలకు.

​ప్రశ్న 3: 4 మరియు 5 గంటల మధ్య రెండోసారి లంబ కోణం ఎప్పుడు ఏర్పడుతుంది?

​వివరణ: రెండోసారి అంటే (4 + 3) = 7 తీసుకోవాలి.

​నిమిషాలు ={60 / 11} * 7 = \frac{420}{11} = 38 \frac{2}{11} నిమిషాలు.

​జవాబు: 4 గంటల 38 \frac{2}{11} నిమిషాలకు.

​3. దర్పణ ప్రతిబింబం (Mirror Image)

​ఒక గడియారంలో కొంత సమయం అయినప్పుడు, దానిని అద్దంలో చూస్తే కనిపించే సమయం ఎంత?

​షార్ట్‌కట్: ఇచ్చిన సమయాన్ని 11:60 నుండి తీసివేయాలి.

​ప్రశ్న 4: ఒక గడియారంలో సమయం 3:25 అయితే, అద్దంలో కనిపించే సమయం ఎంత?

​వివరణ: 11:60 - 3:25 = 8:35.

​జవాబు: 8:35.

​ప్రశ్న 5: గడియారంలో సమయం 12:15 అయితే, అద్దంలో సమయం ఎంత?

​వివరణ: సమయం 12 కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, దానిని 23:60 నుండి తీసివేయాలి.

​23:60 - 12:15 = 11:45.

​జవాబు: 11:45.

​4. నీటి ప్రతిబింబం (Water Image)

​గడియారాన్ని నీటిలో చూసినప్పుడు కనిపించే సమయం.

​షార్ట్‌కట్: ఇచ్చిన సమయాన్ని 18:30 (లేదా 17:90) నుండి తీసివేయాలి.

​ప్రశ్న 6: గడియారంలో సమయం 10:20 అయితే, నీటిలో కనిపించే సమయం ఎంత?

​వివరణ: 18:30 - 10:20 = 8:10.

​జవాబు: 8:10.

​5. తప్పు గడియారాలు (Faulty Clocks)

​ప్రశ్న 7: ఒక గడియారం ప్రతి గంటకు 5 నిమిషాలు వేగంగా (Fast) నడుస్తుంది. ఉదయం 8 గంటలకు సరైన సమయం సెట్ చేస్తే, అదే రోజు సాయంత్రం 6 గంటలకు ఆ గడియారం ఎంత సమయం చూపుతుంది?

​వివరణ:

​ఉదయం 8 నుండి సాయంత్రం 6 వరకు మొత్తం గంటలు = 10 గంటలు.గంటకు 5 నిమిషాల చొప్పున, 10 గంటలకు అయ్యే అదనపు సమయం = 10 * 5 = 50 నిమిషాలు.

​జవాబు: 6:50 గంటలు.

Note:

స్థితి ఒక గంటలో 12 గంటల్లో 24 గంటల్లో

ఏకీభవించడం (0° ) 1 సారి 11 సార్లు 22 సార్లు

వ్యతిరేక దిశ (180° ) 1 సారి 11 సార్లు 22 సార్లు

లంబ కోణం (90° ) 2 సార్లు 22 సార్లు 44 సార్లు

ఒకే సరళరేఖపై ఉండటం 2 సార్లు 22 సార్లు 44 సార్లు