ప్రశ్న : ఒక గడియారం ప్రతి 24 గంటలకు 16 నిమిషాలు వెనుకబడుతుంది (Loses). దానిని ఒకరోజు
ఉదయం 5 గంటలకు సరిచేశారు. నాల్గవ రోజు రాత్రి 10 గంటలకు ఆ గడియారం సరైన సమయాన్ని
ఎంత చూపిస్తుంది?
మొత్తం సమయం: మొదటి రోజు ఉదయం 5 నుండి నాల్గవ రోజు రాత్రి 10 వరకు.
3 రోజులు (72 గంటలు) + ఉదయం 5 నుండి రాత్రి 10 వరకు (17 గంటలు) = మొత్తం 89 గంటలు.
తప్పు గడియారం 23 గంటల 44 నిమిషాలు తిరిగితే, సరైన గడియారం 24 గంటలు తిరుగుతుంది.
23 {44/ 60} గంటలు = 23 {11 / 15} = {356 / 15} గంటలు (తప్పు సమయం).
23 {44 / 60} గంటలు = 23{11 / 15} = {356/15} గంటలు (తప్పు సమయం).
సరైన సమయం = ( {మొత్తం గంటలు} × {24/తప్పు సమయం})
అంటే తప్పు గడియారం 89 గంటలు చూపిస్తుంటే, నిజానికి 90 గంటలు గడిచాయి (1 గంట తేడా).
జవాబు: రాత్రి 11 గంటలు (10:00 + 1 గంట).
ప్రశ్న 20: ఒక గడియారం సోమవారం మధ్యాహ్నం 12 గంటలకు 2 నిమిషాలు వెనుకబడి ఉంది. కానీ బుధ
వారం మధ్యాహ్నం 2 గంటలకు అది 4 నిమిషాల 48 సెకన్లు ముందు (Fast) ఉంది. ఆ గడియారం ఎప్పుడు
సరైన సమయాన్ని చూపించింది?
సాధన:
మొత్తం సమయం: సోమవారం మధ్యాహ్నం 12 నుండి బుధవారం మధ్యాహ్నం 2 వరకు = 50 గంటలు.
మొత్తం పెరిగిన సమయం = 2 నిమిషాలు (వెనుకబాటు) + 4 నిమిషాల 48 సెకన్లు (ముందు) = 6 నిమిషాల
48 సెకన్లు.
6 నిమిషాల 48 సెకన్లను నిమిషాల్లోకి మారిస్తే: 6 {48/60} = 6.8 నిమిషాలు.
6.8 నిమిషాలు పెరగడానికి పట్టిన కాలం = 50 గంటలు.
సరైన సమయం చూపించాలంటే, అది వెనుకబడిన ఆ 2 నిమిషాలను కవర్ చేయాలి.
కాలం = ({2}{6.8}) \times 50 = {100/6.8} \approx 14.7 గంటలు.
సోమవారం మధ్యాహ్నం 12 గంటలకు 14 గంటల 42 నిమిషాలు కలిపితే: మరుసటి రోజు (మంగళవారం)
తెల్లవారుజామున 2:42 నిమిషాలు.
జవాబు: మంగళవారం తెల్లవారుజామున 2:42 గంటలకు
ఈ చాప్టర్ నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సిన 'గోల్డెన్ పాయింట్స్':
Mirror Image (అద్దం): 1:00 నుండి 11:00 మధ్య సమయం ఉంటే 11:60 నుండి తీసివేయండి. 11:00 నుండి
1:00 మధ్య ఉంటే 23:60 నుండి తీసివేయండి.
90 డిగ్రీలు: గంటకు 2 సార్లు ఏర్పడుతుంది, కానీ 2-4 గంటల మధ్య మరియు 8-10 గంటల మధ్య కేవలం
3 సార్లు మాత్రమే ఏర్పడుతుంది.
Time and Distance లాజిక్:
గడియారం ముల్లుల లెక్కలను 'Relative Speed' (సాపేక్ష వేగం) ఉపయోగించి కూడా చేయవచ్చు. ముల్లుల
సాపేక్ష వేగం = 5 {1/ 2} డిగ్రీలు ప్రతి నిమిషానికి.
ముల్లుల మధ్య దూరం (Space Apart)
ప్రశ్న 21: 4 మరియు 5 గంటల మధ్య, రెండు ముల్లులు ఎప్పుడు 3 నిమిషాల దూరంలో ఉంటాయి?
సాధన:
నిమిషాల ముల్లు 1 నిమిషంలో 6° కోణం చేస్తుంది. కాబట్టి 3 నిమిషాల దూరం అంటే 3* 6 = 18 °కోణం.
కోణం = 18°, H = 4.
సూత్రం: 18 = | \frac{11}{2}M - 30(4) |
Case 1 (నిమిషాల ముల్లు వెనుక ఉన్నప్పుడు):
120 - {11/2}M = 18 ==> {11/2}M = 102 ==> M = {204/11} = 18 {6/11} నిమిషాలు.
Case 2 (నిమిషాల ముల్లు దాటి వెళ్ళినప్పుడు):
{11/2}M - 120 = 18 ==>{11/2}M = 138 ==> M = {276/11} = 25 {1/11} నిమిషాలు.
జవాబు: 4 గంటల 18 {6/11} ని. లేదా 4 గంటల 25 {1/11} నిమిషాలకు.
8. వేగంగా తిరిగే గడియారాలు (Gaining Time)
ప్రశ్న 22: ఒక గడియారం ప్రతి 3 నిమిషాలకు 5 సెకన్లు వేగంగా నడుస్తుంది. దానిని ఉదయం 7 గంటలకు
సరిచేశారు. అదే రోజు మధ్యాహ్నం ఆ గడియారం 4:15 సమయాన్ని చూపిస్తున్నప్పుడు, సరైన సమయం
ఎంత?
సాధన:
తప్పు గడియారం చూపిన కాలం = ఉదయం 7 నుండి సాయంత్రం 4:15 వరకు = 9 గంటల 15 నిమిషాలు
= 555 నిమిషాలు.
గడియారం పెరిగే వేగం: ప్రతి 3 నిమిషాలకు 5 సెకన్లు. అంటే 180 సెకన్లకి 5 సెకన్లు అదనంగా తిరుగుతుంది.
అంటే: సరైన గడియారం 180 సెకన్లు తిరిగితే, తప్పు గడియారం 185 సెకన్లు తిరుగుతుంది.
నిష్పత్తి {Correct} : {Faulty} = 180 : 185 = 36 : 37.
సరైన సమయం = {36}:{37}* 555 = 36 * 15 = 540 నిమిషాలు.
540 నిమిషాలు అంటే 9 గంటలు.
ఉదయం 7 గంటలు + 9 గంటలు = సాయంత్రం 4 గంటలు.
జవాబు: సాయంత్రం 4:00.
లంబ కోణాలు (Right Angles)
ప్రశ్న 23: ఒక రోజులో (24 గంటల్లో) గడియారంలోని రెండు ముల్లులు ఎన్నిసార్లు లంబ కోణంలో (90°)
ఉంటాయి?
వివరణ:
ప్రతి గంటకు రెండుసార్లు లంబ కోణం ఏర్పడుతుంది.
కానీ 2 నుండి 4 గంటల మధ్య మరియు 8 నుండి 10 గంటల మధ్య 4 సార్లు రావాల్సింది 3 సార్లు మాత్రమే
వస్తుంది.
కాబట్టి 12 గంటల్లో = (12* 2) - 2 = 22 సార్లు.
24 గంటల్లో = 22 * 2 = 44 సార్లు.
జవాబు: 44 సార్లు.
10. అద్దంలో ప్రతిబింబం - కష్టమైన మోడల్
ప్రశ్న 24: ఒక గడియారాన్ని అద్దంలో చూసినప్పుడు సమయం 12:25 గా కనిపిస్తోంది. అయితే అసలు
సమయం ఎంత?
సాధన:
సాధారణంగా 11:60 నుండి తీసివేస్తాం. కానీ సమయం 12 దాటినప్పుడు 23:60 నుండి తీసివేయాలి.
అసలు సమయం = 23:60 - 12:25 = 11:35.
జవాబు: 11:35.
కోణం నుండి సమయాన్ని కనుగొనడం
ప్రశ్న : 3 మరియు 4 గంటల మధ్య రెండు ముల్లుల మధ్య కోణం మొదటిసారిగా 75° ఎప్పుడు ఉంటుంది?
ө = 75, H = 3
90 - {11/2}M = 75==> {11/2}M = 15==> M = {30/11} = 2 {8/11} నిమిషాలు.
జవాబు: 3 గంటల 2 {8 / 11} నిమిషాలకు.
ప్రశ్న: ఉదయం 10:30 నిమిషాలకు రెండు ముల్లుల మధ్య కోణం ఎంత?
జవాబు 135°
(చిట్కా: H=10, M=30 ని సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఒకవేళ కోణం 180 కంటే ఎక్కువ వస్తే 360 నుండి తీసివే
యండి.)
ప్రశ్న 26: ఒక గడియారాన్ని మధ్యాహ్నం 12 గంటలకు సరిచేశారు. సమయం సాయంత్రం 5:10
అయినప్పుడు, గంటల ముల్లు తిరిగిన మొత్తం కోణం ఎంత?
సాధన:
మొత్తం సమయం = 5 గంటల 10 నిమిషాలు = 310 నిమిషాలు.
గంటల ముల్లు వేగం = నిమిషానికి 0.5°.
మొత్తం కోణం = 310 * 0.5 = 155°
జవాబు: 155°
రెండుసార్లు లంబకోణం (Two Right Angles)
ప్రశ్న 31: 7 మరియు 8 గంటల మధ్య ఏ సమయంలో రెండు ముల్లులు రెండోసారి లంబకోణంలో
ఉంటాయి?
సాధన:
సూత్రం: M = {2/11}(30H + ө )
M = {2/11}(30H + 90°)
రెండోసారి అంటే మనం + గుర్తును తీసుకోవాలి.
M = {2/11}((30 * 7 )+ 90) = {2/11} * (210 + 90) = {2/11}(300) = {600/11} = 54 {6/11} నిమిషాలు.
జవాబు: 7 గంటల 54 {6/11} నిమిషాలకు.
గడియారం వెనుకబడటం (Constant Loss)
ప్రశ్న 32: ఒక గడియారం ప్రతి గంటకు 10 సెకన్లు వెనుకబడుతుంది. ఆదివారం ఉదయం 6 గంటలకు
సరైన సమయం సెట్ చేస్తే, మంగళవారం ఉదయం 6 గంటలకు అది ఎంత సమయం చూపుతుంది?
సాధన:
ఆదివారం ఉదయం 6 నుండి మంగళవారం ఉదయం 6 వరకు మొత్తం గంటలు = 48 గంటలు.
గంటకు వెనుకబడే సమయం = 10 సెకన్లు.
48 గంటలకు వెనుకబడే సమయం = 48 * 10 = 480 సెకన్లు.
నిమిషాల్లోకి మారిస్తే: 480 / 60 = 8 నిమిషాలు.
జవాబు: ఉదయం 5:52 (అంటే 8 నిమిషాలు తక్కువ చూపుతుంది).
కోణం - నిష్పత్తి పద్ధతి (Ratio Method)
ప్రశ్న 33: గడియారంలో సమయం 4:20 అయినప్పుడు, నిమిషాల ముల్లు మరియు గంటల ముల్లు మధ్య
కోణం ఎంత?
షార్ట్కట్: సమయం 1:5 నిష్పత్తిలో ఉంటే (ఉదా: 4:20, 5:25, 6:30), కోణం = {Minutes}*{2}.
ఇక్కడ సమయం 4:20, అంటే నిష్పత్తి 1:5.
కోణం = 20 / 2 = 10°.
జవాబు: 10°
గంటల ముల్లు వేగం (Hourly Hand Movement)
ప్రశ్న 34: ఒక గడియారం మధ్యాహ్నం 12 గంటల నుండి 3:45 వరకు తిరిగినప్పుడు, గంటల ముల్లు ఎన్ని
డిగ్రీల కోణం చేస్తుంది?
సాధన:
మొత్తం సమయం = 3 గంటల 45 నిమిషాలు = 225 నిమిషాలు.
గంటల ముల్లు 1 నిమిషానికి 0.5° తిరుగుతుంది.
మొత్తం కోణం = 225 \times 0.5 = 112.5°
జవాబు: 112.5°
21. క్లిష్టమైన అద్దం ప్రతిబింబం (Tricky Mirror Image)
ప్రశ్న 35: అద్దంలో సమయం 6:00 గా కనిపిస్తోంది. గడియారంలోని ముల్లుల అమరిక ప్రకారం అసలు
సమయం ఎంత?
సాధన:
11:60 - 6:00 = 5:60.
5:60 అంటే ఖచ్చితంగా 6:00 గంటలు.
జవాబు: 6:00 (6 గంటల సమయానికి అద్దంలో కూడా 6 గంటలే కనిపిస్తుంది).
ప్రశ్న 27: 2 మరియు 3 గంటల మధ్య, రెండు ముల్లులు ఒకదానికొకటి లంబంగా (90°)
ఉన్నప్పుడు సమయం ఎంత?
సాధన: * సూత్రం: M = \frac{2}{11}(30H \pm ө)
ఇక్కడ H = 2, ө = 90°.
M = {2/11}(30 * 2 + 90) = {2/11}*(150) ={300/11} = 27 {3/11} నిమిషాలు.
జవాబు: 2 గంటల 27 {3/11} నిమిషాలకు.
గడియారం వేగంగా/నెమ్మదిగా వెళ్లడం (Clocks Gaining/Losing)
ప్రశ్న 28: ఒక గడియారం ప్రతి 24 గంటలకు 5 నిమిషాలు వేగంగా నడుస్తుంది. సోమవారం ఉదయం 10
గంటలకు దానిని సరిచేశారు. మరుసటి సోమవారం ఉదయం 10 గంటలకు ఆ గడియారం ఎంత సమయం
చూపుతుంది?
సాధన:
సోమవారం నుండి మరుసటి సోమవారం వరకు మొత్తం రోజులు = 7 రోజులు.
రోజుకు పెరిగే సమయం = 5 నిమిషాలు.
7 రోజులకు పెరిగే సమయం = 7 * 5 = 35 నిమిషాలు.
జవాబు: ఉదయం 10:35.
15. ముఖ్యమైన లాజిక్ - లంబ కోణాలు (Special Patterns)
ప్రశ్న 29: ఒక రోజులో రెండు ముల్లులు ఎన్నిసార్లు ఏకీభవిస్తాయి (0°) మరియు ఎన్నిసార్లు సరళ రేఖలో
(180°) ఉంటాయి?
వివరణ:
ఏకీభవించడం (Coincide): 24 గంటల్లో 22 సార్లు.
వ్యతిరేక దిశ (Opposite): 24 గంటల్లో 22 సార్లు.
ఒకే సరళ రేఖలో ఉండటం (రెండు సందర్భాలు కలిపి): 22 + 22 = 44 సార్లు.