నిమిషాల ముల్లు గంటల ముల్లును దాటే సమయం (Standard Catch-up)
సాధారణంగా నిమిషాల ముల్లు గంటల ముల్లును ప్రతి 65 {5 / 11} నిమిషాలకు ఒకసారి దాటుతుంది (Coincide).
దీనికంటే ముందుగా లేదా ఆలస్యంగా దాటితే ఆ గడియారం తప్పుగా ఉన్నట్లు అర్థం.
సూత్రం:
Gain(or)Loss = ( (65 {5/11} - Given Time) / {Given Time}.) *{Total Time}
ప్రశ్న : ఒక గడియారంలోని నిమిషాల ముల్లు, గంటల ముల్లును ప్రతి 64 నిమిషాలకు ఒకసారి దాటుతుంటే, ఆ గడియారం ఒక రోజులో ఎంత సమయం లాభిస్తుంది (Gain) లేదా కోల్పోతుంది (Loss)?
సూత్రం:
Gain/Loss = ( (65 {5/11} - Given Time) / {Given Time}.) *{Total Time}
సాధన: ఇక్కడ Given Time = 64 నిమిషాలు, Total Time = 24 గంటలు.
= {(16 / 11 * 64} * 24 = {1 / 44} * 24 = {6/11} గంటలు.
దీనిని నిమిషాల్లోకి మారిస్తే: {6/11} * 60 = 32 {8/11} నిమిషాలు.
జవాబు: ఆ గడియారం ఒక రోజులో 32 {8/11} నిమిషాలు వేగంగా (Gain) నడుస్తుంది.
ప్రశ్న : ఒక గడియారం ప్రతి గంటకు 2 నిమిషాలు వేగంగా నడుస్తుంది. దానిని ఆదివారం ఉదయం 7 గంటలకు సరిచేశారు. మరుసటి రోజు (సోమవారం) ఆ గడియారం మధ్యాహ్నం 1 గంట అని చూపించినప్పుడు, అసలైన (సరైన) సమయం ఎంత?
సాధన:
తప్పు గడియారం తిరిగిన మొత్తం కాలం = ఆదివారం ఉదయం 7 నుండి సోమవారం మధ్యాహ్నం 1 వరకు = 30 గంటలు.
తప్పు గడియారం వేగం: 60 నిమిషాల కాలానికి అది 62 నిమిషాలు తిరుగుతుంది.
అంటే: {True Time} : {Faulty Time} = 60 : 62
ఇప్పుడు, తప్పు గడియారం 30 గంటలు తిరిగితే, సరైన సమయం X:
X = {60 / 62} × 30 = {30 / 31} × 30 = 29.03 గంటలు.
అంటే సుమారుగా 29 గంటలు.
ఆదివారం ఉదయం 7 + 29 గంటలు = సోమవారం మధ్యాహ్నం 12 గంటలు.
జవాబు: సుమారుగా 12:02 PM.
రెండు వేర్వేరు గడియారాల పోలిక
ప్రశ్న : 'A' అనే గడియారం గంటకు 2 నిమిషాలు వేగంగా, 'B' అనే గడియారం గంటకు 3 నిమిషాలు
ఆలస్యంగా నడుస్తాయి. ఈ రెండింటిని ఉదయం 10 గంటలకు సరిచేశారు. అదే రోజు రాత్రి 10 గంటలకు ఈ రెండు గడియారాల మధ్య సమయ వ్యత్యాసం ఎంత ఉంటుంది?
సాధన:
మొత్తం గంటలు = 12 గంటలు (ఉదయం 10 నుండి రాత్రి 10 వరకు).
గడియారం 'A' పెరిగే సమయం = 12 × 2 = 24 నిమిషాలు (+).
గడియారం 'B' తగ్గే సమయం = 12 × 3 = 36 నిమిషాలు (-).
మొత్తం వ్యత్యాసం = 24 - (-36) = 24 + 36 = 60 నిమిషాలు.
జవాబు: 1 గంట వ్యత్యాసం ఉంటుంది. (అంటే A లో 10:24, B లో 9:24 కనిపిస్తుంది).
క్విక్ రివిజన్ టిప్స్:
Fast Clock: తప్పు గడియారం చూపే సమయం > అసలు సమయం.
Slow Clock: తప్పు గడియారం చూపే సమయం < అసలు సమయం.
ప్రశ్న 18: ఒక గడియారం ఉదయం 8 గంటల సమయాన్ని చూపుతోంది. ఆ గడియారం మధ్యాహ్నం 2 గంటల సమయం చూపించే వరకు, గంటల ముల్లు ఎన్ని డిగ్రీలు తిరుగుతుంది?
సాధన:
ఉదయం 8 నుండి మధ్యాహ్నం 2 వరకు గల సమయం = 6 గంటలు.
గంటల ముల్లు 1 గంటకు చేసే కోణం = 30° (ఎందుకంటే 360° / 12 = 30 ° ).
కాబట్టి, 6 గంటలకు గంటల ముల్లు చేసే కోణం = 6 × 30° = 180°.
జవాబు: 180°
కోణం కనుగొనే మరో మోడల్
ప్రశ్న : సమయం 7:35 అయినప్పుడు రెండు ముల్లుల మధ్య కోణం ఎంత?
H = 7, M = 35.
= | 210 - 192.5 | = 17.5°
జవాబు: 17.5° లేదా 17 {1/2}°.
ప్రశ్న: సమయం 8:32 అయినప్పుడు, రెండు ముల్లుల మధ్య కోణం ఎంత?
షార్ట్కట్: సమయం 1:4 నిష్పత్తిలో ఉంటే (ఉదా: 4:16, 5:20, 8:32), కోణం = {Minutes} *2.
ఇక్కడ 8:32 అంటే నిష్పత్తి 1:4.
కోణం = 32 * 2 = 64° .
జవాబు: 64°
ఏకీభవించే సమయం (Coinciding Time)
ప్రశ్న : 9 మరియు 10 గంటల మధ్య, రెండు ముల్లులు ఎప్పుడు ఒకదానిపై ఒకటి (0°) ఉంటాయి?
సాధన: సూత్రం = {60/11} * H
ఇక్కడ H = 9.
సమయం = {60/11} * 9 = {540/11} = 49 {1/11} నిమిషాలు.
జవాబు: 9 గంటల 49 * {1/11} నిమిషాలకు.
గడియారం వేగం - క్లిష్టమైన లెక్క (Gaining Time)
ప్రశ్న : ఒక గడియారం ప్రతి గంటకు 5 నిమిషాలు వేగంగా నడుస్తుంది. దానిని ఉదయం 10 గంటలకు సరిచేశారు. అదే రోజు సాయంత్రం ఆ గడియారం 4:30 సమయాన్ని చూపిస్తుంటే, అసలైన సమయం ఎంత?
సాధన:
తప్పు గడియారం తిరిగిన కాలం = ఉదయం 10 నుండి సాయంత్రం 4:30 వరకు = 6 గంటల 30 నిమిషాలు (390 నిమిషాలు).
తప్పు గడియారం 65 నిమిషాలు తిరిగితే, సరైన గడియారం 60 నిమిషాలు మాత్రమే తిరుగుతుంది.
సరైన సమయం = {60/65} * 390 = {12/13} * 390 = 12 * 30 = 360 నిమిషాలు.
360 నిమిషాలు అంటే సరిగ్గా 6 గంటలు.
ఉదయం 10 గంటలు + 6 గంటలు = సాయంత్రం 4:00.
జవాబు: సాయంత్రం 4:00.
నిమిషాల ముల్లు వేగం (Minutes Hand Movement)
ప్రశ్న 39: సమయం 2:15 నుండి 2:35 వరకు జరిగినప్పుడు, నిమిషాల ముల్లు ఎన్ని డిగ్రీలు తిరుగుతుంది?
సాధన:
మొత్తం నిమిషాలు = 20 నిమిషాలు (2:35 - 2:15).
నిమిషాల ముల్లు 1 నిమిషానికి 6^\circ తిరుగుతుంది.
మొత్తం కోణం = 20 * 6 = 120°.
జవాబు: 120°
26. సరళ రేఖ (Straight Line)
ప్రశ్న 40: 10 మరియు 11 గంటల మధ్య రెండు ముల్లులు ఎప్పుడు ఒకే సరళ రేఖలో ఉండి, వ్యతిరేక దిశలో (180°) ఉంటాయి?
సాధన: సూత్రం = {60/11}* (H - 6) (ఇక్కడ H > 6 కాబట్టి 6 తీసివేయాలి).
సమయం = {60/11} * (10 - 6) ={60/11}* 4 = {240/11} = 21 {9/11} నిమిషాలు.
జవాబు: 10 గంటల 21{9/11} నిమిషాలకు.
రెండు ముల్లుల మధ్య దూరం (Time for a Specific Distance)
ప్రశ్న 41: 3 మరియు 4 గంటల మధ్య, రెండు ముల్లులు ఎప్పుడు 4 నిమిషాల దూరంలో ఉంటాయి?
సాధన: * నిమిషాల ముల్లు 1 నిమిషంలో 6^\circ తిరుగుతుంది. కాబట్టి 4 నిమిషాల దూరం అంటే 4* 6 = 24° కోణం.
ఇక్కడ రెండు సందర్భాలు ఉంటాయి: నిమిషాల ముల్లు గంటల ముల్లు కంటే వెనుక ఉన్నప్పుడు మరియు దాటి వెళ్ళినప్పుడు.
సూత్రం: M ={2/11}(30H +/- ө)
సందర్భం 1: M = {2/11}(30 * 3 - 24) = {2/11}(90 - 24) = {2 / 11} * (66) = 12 నిమిషాలు.
సందర్భం 2: M = {2/11}(30 * 3 + 24) = {2/11} * (90 + 24) = {2/11} * (114) = 20 {8 / 11} నిమిషాలు.
జవాబు: 3 గంటల 12 నిమిషాలకు లేదా 3 గంటల 20 * {8/11} నిమిషాలకు.
28. నీటి ప్రతిబింబం (Water Image - Advanced)
ప్రశ్న 42: ఒక గడియారంలో సమయం 8:50 అయితే, నీటిలో దాని ప్రతిబింబ సమయం ఎంత?
సాధన: * నీటి ప్రతిబింబం కోసం సమయాన్ని 17:90 (లేదా 18:30) నుండి తీసివేయాలి.
ఇక్కడ నిమిషాలు 30 కంటే ఎక్కువ కాబట్టి 17:90 తీసుకుందాం.
17:90 - 8:50 = 9:40.
జవాబు: 9:40.
. పరావర్తన కోణం (Reflex Angle)
ప్రశ్న 43: సమయం 10:25 అయినప్పుడు గడియారంలోని ముల్లుల మధ్య పరావర్తన కోణం (Reflex Angle) ఎంత?
సాధన:
ముందుగా సాధారణ కోణాన్ని కనుగొందాం: ө = | 30(10) - {11/2} * (25) |
ө = | 300 - 137.5 | = 162.5°.
పరావర్తన కోణం అంటే 180^\circ కంటే ఎక్కువ ఉండాలి. కాబట్టి దీనిని 360° నుండి తీసివేయాలి.
పరావర్తన కోణం = 360 - 162.5 = 197.5°.
జవాబు: 197.5°
వేగంగా తిరిగే గడియారం (Uniform Gain)
ప్రశ్న 44: ఒక గడియారం మంగళవారం ఉదయం 8 గంటలకు 1 నిమిషం ఆలస్యంగా ఉంది. బుధవారం ఉదయం 8 గంటలకు అది 2 నిమిషాలు వేగంగా ఉంది. అయితే అది సరైన సమయాన్ని ఎప్పుడు చూపించింది?
సాధన:
మొత్తం పెరిగిన సమయం = 1 నిమి (ఆలస్యం) + 2 నిమి (వేగం) = 3 నిమిషాలు.
ఈ 3 నిమిషాలు పెరగడానికి పట్టిన కాలం = 24 గంటలు.
అంటే 1 నిమిషం పెరగడానికి పట్టే కాలం = 24 / 3 = 8 గంటలు.
సరైన సమయం చూపించాలంటే అది వెనుకబడిన ఆ 1 నిమిషాన్ని కవర్ చేయాలి.
మంగళవారం ఉదయం 8 గంటలు + 8 గంటలు = మంగళవారం సాయంత్రం 4 గంటలు.
జవాబు: మంగళవారం సాయంత్రం 4:00.