ప్రశ్న 1: A : B = 2 : 3 మరియు B : C = 4 : 5 అయితే, A : B : C ఎంత?
సమాధానం: 8 : 12 : 15
వివరణ: రెండు నిష్పత్తుల్లో B ఉమ్మడిగా ఉంది. B caravan విలువను సమానం చేయాలి.
*
మొదటి నిష్పత్తిని 4 తో, రెండవ నిష్పత్తిని 3 తో గుణించాలి.
కాబట్టి, A : B : C = 8 : 12 : 15.
ప్రశ్న 2: A : B = 3 : 4 మరియు B : C = 8 : 9 అయితే, A : C ఎంత?
సమాధానం: 2 : 3
* **వివరణ:{A:C} ={A:B} * {B:C} రూపంలో రాయవచ్చు.
* * క్యాన్సిల్ చేస్తే,{A:C} = {1 * 2}{1 * 3} ={2:3} = 2 : 3.
**ప్రశ్న 3: 45 పైసలు మరియు 3 రూపాయల నిష్పత్తి ఎంత?**
* **సమాధానం:** 3 : 20
* **వివరణ:** ప్రమాణాలు సమానంగా ఉండాలి. 3 రూపాయలు = 3 \times 100 = 300 పైసలు.
* నిష్పత్తి = 45 : 300
* రెండు సంఖ్యలను 15 తో భాగిస్తే: 15 \times 3 = 45, 15 \times 20 = 300.
* కాబట్టి, నిష్పత్తి = 3 : 20.
**ప్రశ్న 4: ఒక సొమ్మును A, B లకు 5 : 7 నిష్పత్తిలో పంచారు. B కి లభించిన భాగం రూ. 280 అయితే, మొత్తం సొమ్ము ఎంత?**
* **సమాధానం:** రూ. 480
* **వివరణ:** B భాగం = 7 భాగాలు = రూ. 280.
* 1 భాగం = \frac{280}{7} = రూ. 40.
* మొత్తం భాగాలు = 5 + 7 = 12 భాగాలు.
* మొత్తం సొమ్ము = 12 \times 40 = రూ. 480.
**ప్రశ్న 5: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3 : 5. వాటి మొత్తం 72 అయితే, ఆ సంఖ్యలలో పెద్ద సంఖ్య ఏది?**
* **సమాధానం:** 45
* **వివరణ:** మొత్తం భాగాలు = 3 + 5 = 8 భాగాలు.
* 8 భాగాలు = 72
* 1 భాగం = \frac{72}{8} = 9.
* పెద్ద సంఖ్య 5 భాగాలు ఉంది కాబట్టి = 5 \times 9 = 45.
**ప్రశ్న 6: A : B = 1 : 2, B : C = 3 : 4, C : D = 5 : 6 అయితే A : B : C : D ఎంత?**
* **సమాధానం:** 15 : 30 : 40 : 48
* **వివరణ:** ఖాళీలను పక్క సంఖ్యలతో పూరించే పద్ధతి (Grid Method) ద్వారా:
* A : B : C : D
* 1 : 2 : [2] : [2] (B పక్కన 2 రాయాలి)
* [3] : 3 : 4 : [4] (B పక్కన 3, C పక్కన 4)
* [5] : [5] : 5 : 6 (C, D ల కింద 5)
* నిలువుగా గుణిస్తే: A = 1\times3\times5 = 15, B = 2\times3\times5 = 30, C = 2\times4\times5 = 40, D = 2\times4\times6 = 48.
* కాబట్టి నిష్పత్తి = 15 : 30 : 40 : 48.
**ప్రశ్న 7: 2A = 3B = 4C అయితే, A : B : C ఎంత?**
* **సమాధానం:** 6 : 4 : 3
* **వివరణ:** 2, 3, 4 ల కసాగు (LCM) = 12.
* ప్రతి పదాన్ని 12 తో భాగించాలి: \frac{2A}{12} = \frac{3B}{12} = \frac{4C}{12}
* * కాబట్టి, A : B : C = 6 : 4 : 3.
**ప్రశ్న 8: \frac{A}{3} = \frac{B}{4} = \frac{C}{5} అయితే, A : B : C ఎంత?**
* **సమాధానం:** 3 : 4 : 5
* **వివరణ:** హారంలో ఉన్న విలువలనే నేరుగా నిష్పత్తిగా తీసుకోవచ్చు. కాబట్టి A : B : C = 3 : 4 : 5.
**ప్రశ్న 9: A : B = \frac{1}{2} : \frac{3}{8} అయితే దీని సరళ నిష్పత్తి ఎంత?**
* **సమాధానం:** 4 : 3
* **వివరణ:** హారాలు 2, 8 ల కసాగు = 8. రెండు పదాలను 8 తో గుణించాలి.
* (\frac{1}{2} \times 8) : (\frac{3}{8} \times 8) = 4 : 3.
**ప్రశ్న 10: 4^3 : 2^5 యొక్క సరళ రూపం ఏమిటి?**
* **సమాధానం:** 2 : 1
* **వివరణ:** రెండింటినీ ఒకే భూమి (Base) లోకి మార్చాలి. 4 = 2^2.
* 4^3 = (2^2)^3 = 2^6.
* ఇప్పుడు నిష్పత్తి 2^6 : 2^5 = \frac{2^6}{2^5} = \frac{2}{1} = 2 : 1.
ప్రశ్న 11: X : Y = 3 : 4 అయితే (7X + 3Y) : (7X - 3Y) విలువ ఎంత?
* **సమాధానం:** 11 : 3
* **వివరణ:** X = 3, Y = 4 సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించాలి.
* * * నిష్పత్తి = 33 : 9 = 11 : 3 (3 తో భాగిస్తే).
**ప్రశ్న 12: 3 : 5 నిష్పత్తి యొక్క విలోమ నిష్పత్తి (Inverse Ratio) ఎంత?**
* **సమాధానం:** 5 : 3
* **వివరణ:** A : B యొక్క విలోమ నిష్పత్తి B : A అవుతుంది. కాబట్టి 3 : 5 కి విలోమం 5 : 3.
**
ప్రశ్న 13: 2 : 3, 4 : 5 మరియు 6 : 7 ల బహుళ నిష్పత్తి (Compound Ratio) ఎంత?**
* **సమాధానం:** 16 : 35
* **వివరణ:** బహుళ నిష్పత్తి అంటే పూర్వ పదాల గుణకారం : పర పదాల గుణకారం.
* * 3 తో భాగిస్తే = 16 : 35.
*
*ప్రశ్న 14: 9 మరియు 25 ల మధ్యమానుపాతం (Mean Proportional) ఎంత?**
* **సమాధానం:** 15
* **వివరణ:** a, b ల మధ్యమానుపాతం = \sqrt{ab}.
* \sqrt{9 \times 25} = \sqrt{225} = 15.
*
*ప్రశ్న 15: 4, 8, 12 ల నాల్గవ అనుపాతం (Fourth Proportional) ఎంత?**
* **సమాధానం:** 24
* **వివరణ:** నాల్గవ అనుపాతం x అనుకుంటే, 4 : 8 = 12 : x.
* అంత్యముల గుణకారం = మధ్యముల గుణకారం \Rightarrow 4 \times x = 8 \times 12
* x = \frac{96}{4} = 24.
**
ప్రశ్న 16: 16 మరియు 24 ల మూడవ అనుపాతం (Third Proportional) ఎంత?**
* **సమాధానం:** 36
* **వివరణ:** a, b ల మూడవ అనుపాతం ఫార్ములా = \frac{b^2}{a}.
* ఇక్కడ a = 16, b = 24.
* మూడవ అనుపాతం = \frac{24 \times 24}{16} = \frac{576}{16} = 36.
*
*ప్రశ్న 17: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 7 : 11. వాటి భేదం 24 అయితే, ఆ సంఖ్యలలో చిన్న సంఖ్య ఏది?**
* **సమాధానం:** 42
* **వివరణ:** నిష్పత్తుల మధ్య భేదం = 11 - 7 = 4 భాగాలు.
* 4 భాగాలు = 24
* 1 భాగం = \frac{24}{4} = 6.
* చిన్న సంఖ్య 7 భాగాలు ఉంది = 7 \times 6 = 42.
*
*ప్రశ్న 18: ఒక సంచిలో రూ. 1, 50 పైసలు, 25 పైసల నాణేలు 5 : 6 : 8 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. మొత్తం నాణేల సంఖ్య 399 అయితే, 50 పైసల నాణేలు ఎన్ని?**
* **సమాధానం:** 126
* **వివరణ:** నాణేల మొత్తం భాగాలు = 5 + 6 + 8 = 19 భాగాలు.
* 19 భాగాలు = 399 \Rightarrow 1 భాగం = 21.
* 50 పైసల నాణేలు = 6 \times 21 = 126.
**
ప్రశ్న 19: రూ. 6400 ను A, B, C లకు 1 : 2 : 5 నిష్పత్తిలో పంచితే, C కి లభించే వాటా ఎంత?**
* **సమాధానం:** రూ. 4000
* **వివరణ:** మొత్తం భాగాలు = 1 + 2 + 5 = 8 భాగాలు.
* 8 భాగాలు = రూ. 6400
* 1 భాగం = \frac{6400}{8} = రూ. 800.
* C వాటా (5 భాగాలు) = 5 \times 800 = రూ. 4000.
**
ప్రశ్న 20: X యొక్క 10\%, Y యొక్క 20\% కి సమానమైతే X : Y ఎంత?**
* **సమాధానం:** 2 : 1
* **వివరణ:** 10\% \text{ of } X = 20\% \text{ of } Y
* * \frac{X}{Y} = \frac{20}{10} = \frac{2}{1} = 2 : 1.
## fragile స్థాయి 2: సంఖ్యల్లో మార్పులు & గుణకారాలు (ప్రశ్నలు 21 - 40)
**
ప్రశ్న 21: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3 : 4. ప్రతి సంఖ్యకు 6 కూడితే ఆ నిష్పత్తి 4 : 5 అవుతుంది. ఆ సంఖ్యలు ఏవి?**
* **సమాధానం:** 18, 24
* **వివరణ:** సంఖ్యలు 3x, 4x అనుకుందాం.
* * అడ్డగుణకారం చేస్తే: 5(3x + 6) = 4(4x + 6) \Rightarrow 15x + 30 = 16x + 24
* 16x - 15x = 30 - 24 \Rightarrow x = 6.
* సంఖ్యలు: 3(6) = 18 మరియు 4(6) = 24.
**
ప్రశ్న 22: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 5 : 7. ప్రతి సంఖ్య నుండి 9 తీసివేస్తే నిష్పత్తి 7 : 11 అవుతుంది. ఆ సంఖ్యల భేదం ఎంత?**
* **సమాధానం:** 12
* **వివరణ:** \frac{5x - 9}{7x - 9} = \frac{7}{11}
* * 6x = 36 \Rightarrow x = 6.
* సంఖ్యల భేదం = 7x - 5x = 2x = 2 \times 6 = 12.
**
ప్రశ్న 23: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 2 : 3. వాటి లబ్ధం (Product) 96 అయితే ఆ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?**
* **సమాధానం:** 20
* **వివరణ:** సంఖ్యలు 2x, 3x అనుకుందాం.
* లబ్ధం = 2x \times 3x = 6x^2 = 96
* x^2 = \frac{96}{6} = 16 \Rightarrow x = 4.
* సంఖ్యల మొత్తం = 2x + 3x = 5x = 5 \times 4 = 20.
**
ప్రశ్న 24: మూడు సంఖ్యలు 1 : 2 : 3 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. వాటి వర్గాల మొత్తం (Sum of Squares) 126 అయితే ఆ సంఖ్యలు ఏవి?**
* **సమాధానం:** 3, 6, 9
* **వివరణ:** సంఖ్యలు x, 2x, 3x అనుకుందాం.
* వర్గాల మొత్తం = x^2 + (2x)^2 + (3x)^2 = x^2 + 4x^2 + 9x^2 = 14x^2
* 14x^2 = 126 \Rightarrow x^2 = \frac{126}{14} = 9 \Rightarrow x = 3.
* సంఖ్యలు: 3, 2(3)=6, 3(3)=9.
**
ప్రశ్న 25: 15 : 19 నిష్పత్తిలోని ప్రతి పదం నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేస్తే అది 3 : 4 కి సమానమవుతుంది?**
* **సమాధానం:** 3
* **వివరణ:** తీసివేయాల్సిన సంఖ్య x అనుకుందాం.
* * 60 - 4x = 57 - 3x \Rightarrow 60 - 57 = 4x - 3x \Rightarrow x = 3.
**
ప్రశ్న 26: 7 : 11 నిష్పత్తికి ఏ సంఖ్యను కూడితే అది 4 : 5 గా మారుతుంది?**
* **సమాధానం:** 9
* **వివరణ:** \frac{7 + x}{11 + x} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5(7 + x) = 4(11 + x)
* 35 + 5x = 44 + 4x \Rightarrow 5x - 4x = 44 - 35 \Rightarrow x = 9.
**
ప్రశ్న 27: ఒక రంగుల మిశ్రమంలో పసుపు, నీలం రంగులు 4 : 3 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. అందులో నీలం రంగు 15 లీటర్లు ఉంటే, పసుపు రంగు ఎంత ఉంది?**
* **సమాధానం:** 20 లీటర్లు
* **వివరణ:** నీలం రంగు = 3 భాగాలు = 15 లీటర్లు.
* 1 భాగం = \frac{15}{3} = 5 లీటర్లు.
* పసుపు రంగు = 4 భాగాలు = 4 \times 5 = 20 లీటర్లు.
**
ప్రశ్న 28: ఒక స్కూల్లో బాలురు, బాలికల నిష్పత్తి 7 : 5. బాలికల కంటే బాలురు 120 మంది ఎక్కువ ఉంటే, స్కూల్లో మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత?**
* **సమాధానం:** 720
* **వివరణ:** బాలురు, బాలికల మధ్య భేదం = 7 - 5 = 2 భాగాలు.
* 2 భాగాలు = 120 \Rightarrow 1 భాగం = 60.
* మొత్తం విద్యార్థులు = 7 + 5 = 12 భాగాలు.
* మొత్తం సంఖ్య = 12 \times 60 = 720.
**
ప్రశ్న 29: మూడు సంఖ్యల మొత్తం 105. మొదటి, రెండవ సంఖ్యల నిష్పత్తి 2 : 3, రెండవ, మూడవ సంఖ్యల నిష్పత్తి 4 : 5 అయితే రెండవ సంఖ్య ఏది?**
* **సమాధానం:** 36
* **వివరణ:** A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5.
* ఉమ్మడి నిష్పత్తి A : B : C = (2\times4) : (3\times4) : (3\times5) = 8 : 12 : 15.
* మొత్తం భాగాలు = 8 + 12 + 15 = 35 భాగాలు.
* 35 భాగాలు = 105 \Rightarrow 1 భాగం = \frac{105}{35} = 3.
* రెండవ సంఖ్య (B) = 12 భాగాలు = 12 \times 3 = 36.
**
ప్రశ్న 30: రెండు సంఖ్యల ఘనాల భేదం (Difference of Cubes) 999. ఆ సంఖ్యల నిష్పత్తి 4 : 3 అయితే ఆ సంఖ్యల గుణకారం ఎంత?**
* **సమాధానం:** 108
* **వివరణ:** సంఖ్యలు 4x, 3x అనుకుందాం.
* ఘనాల భేదం = (4x)^3 - (3x)^3 = 64x^3 - 27x^3 = 37x^3
* 37x^3 = 999 \Rightarrow x^3 = \frac{999}{37} = 27 \Rightarrow x = 3.
* సంఖ్యలు: 4(3) = 12 మరియు 3(3) = 9.
* వాటి గుణకారం = 12 \times 9 = 108.
**
ప్రశ్న 31: ఒక లీపు సంవత్సరంలో వారాల సంఖ్యకు, మిగిలిన రోజుల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి ఎంత?**
* **సమాధానం:** 26 : 1
* **వివరణ:** లీపు సంవత్సరంలో 366 రోజులు ఉంటాయి.
* 366 రోజులు = 52 వారాలు + 2 రోజులు.
* వారాల సంఖ్య (52) : మిగిలిన రోజులు (2) = 52 : 2 = 26 : 1.
**
ప్రశ్న 32: A : B = 2 : 3 మరియు B : C = 5 : 6 అయితే A^2 : B^2 : BC ఎంత?**
* **సమాధానం:** 20 : 45 : 54
* **వివరణ:** మొదట A : B : C కనుగొనాలి.
* A : B : C = (2\times5) : (3\times5) : (3\times6) = 10 : 15 : 18.
* * * * నిష్పత్తి = 100 : 225 : 270 = 20 : 45 : 54 (5 తో భాగిస్తే).
**
ప్రశ్న 33: రెండు సంఖ్యల మొత్తం వాటి భేదానికి 3 రెట్లు ఉంటే, ఆ సంఖ్యల నిష్పత్తి ఎంత?**
* **సమాధానం:** 2 : 1
* **వివరణ:** సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం.
* * *{x/y} ={4/2} ={2/1} = 2 : 1.
**ప్రశ్న 34: ఒక పెట్టెలో ఉన్న రూ. 180 మొత్తం రూ. 1, 50 పైసలు, 25 పైసల నాణేల రూపంలో 2 : 3 : 4 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. 50 పైసల నాణేల సంఖ్య ఎంత?**
* **సమాధానం:** 120
* **వివరణ:** నాణేల సంఖ్య నిష్పత్తి = 2x, 3x, 4x.
* విలువల రూపంలో మార్చాలి:
* రూ. 1 నాణేల విలువ = 2x \times 1 = 2x
* 50 పైసల విలువ = 3x \times 0.50 = 1.5x
* 25 పైసల విలువ = 4x \times 0.25 = 1x
* మొత్తం విలువ = 2x + 1.5x + 1x = 4.5x = 180
* x = \frac{180}{4.5} = 40.
* 50 పైసల నాణేల సంఖ్య = 3x = 3 \times 40 = 120.