ప్రశ్న 35: ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణాలు 2 : 3 : 5 నిష్పత్తిలో ఉంటే, ఆ త్రిభుజంలో అతిపెద్ద కోణం ఎంత?**
* **సమాధానం:** 90^\circ
* **వివరణ:** త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం = 180^\circ.
* మొత్తం భాగాలు = 2 + 3 + 5 = 10 భాగాలు.
* 10 భాగాలు = 180^\circ \Rightarrow 1 \text{ భాగం} = 18^\circ.
* అతిపెద్ద కోణం (5 భాగాలు) = 5 \times 18^\circ = 90^\circ.
*
*ప్రశ్న 36: A యొక్క ఆదాయం B కంటే 25\% ఎక్కువ అయితే, వారి ఆదాయాల నిష్పత్తి ఎంత?**
* **సమాధానం:** 5 : 4
* **వివరణ:** B ఆదాయం 100 అనుకుందాం.
* A ఆదాయం = 100 + 25 = 125.
* నిష్పత్తి A : B = 125 : 100 = 5 : 4 (25 తో భాగిస్తే).
**
ప్రశ్న 37: రెండు వృత్తాల వ్యాసార్థాల (Radii) నిష్పత్తి 3 : 4 అయితే వాటి వైశాల్యాల (Areas) నిష్పత్తి ఎంత?**
* **సమాధానం:** 9 : 16
* **వివరణ:** వృత్త వైశాల్యం ఫార్ములా = \pi r^2. వైశాల్యాల నిష్పత్తి వ్యాసార్థాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానం.
* వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 3^2 : 4^2 = 9 : 16.
**
ప్రశ్న 38: రెండు ഘనాల (Cubes) ఘనపరిమాణాల (Volumes) నిష్పత్తి 8 : 27 అయితే వాటి అంచుల (Edges) నిష్పత్తి ఎంత?**
* **సమాధానం:** 2 : 3
* **వివరణ:** ఘనపరిమాణం నిష్పత్తి = a_1^3 : a_2^3 = 8 : 27.
* అంచుల నిష్పత్తి = \sqrt[3]{8} : \sqrt[3]{27} = 2 : 3.
**
ప్రశ్న 39: ఒక వ్యక్తి తన ఆస్తిని భార్యకు, కొడుకుకు 7 : 3 నిష్పత్తిలో పంచాడు. కొడుకు వాటా కంటే భార్య వాటా రూ. 40,000 ఎక్కువ అయితే మొత్తం ఆస్తి విలువ ఎంత?**
* **సమాధానం:** రూ. 1,00,000
* **వివరణ:** భార్య, కొడుకుల వాటాల భేదం = 7 - 3 = 4 భాగాలు.
* 4 భాగాలు = రూ. 40,000 \Rightarrow 1 భాగం = రూ. 10,000.
* మొత్తం ఆస్తి = 7 + 3 = 10 భాగాలు.
* మొత్తం విలువ = 10 \times 10,000 = రూ. 1,00,000.
**
ప్రశ్న 40: ఒక ప్యాకెట్లో ఉన్న డజన్ గాజులు కింద పడి పగిలాయి. పగిలిన గాజులకు, పగలని గాజులకు క్రింది వాటిలో ఏది నిష్పత్తి కాజాలదు?**
* **సమాధానం:** 3 : 2
* **వివరణ:** ఒక డజన్ అంటే 12 గాజులు. నిష్పత్తి యొక్క మొత్తం భాగాలు 12 ను నిశ్శేషంగా భాగించాలి.
* 2+1=3 (12 ని భాగిస్తుంది)
* 3+1=4 (12 ని భాగిస్తుంది)
* 3+2=5 (12 ని భాగించదు)
* 7+5=12 (12 ని భాగిస్తుంది)
* కాబట్టి 3 : 2 నిష్పత్తి కాజాలదు.
## స్థాయి 3: ఆదాయాలు, ఖర్చులు & వయస్సులు (ప్రశ్నలు 41 - 60)
**
ప్రశ్న 41: A, B ల ఆదాయాల నిష్పత్తి 9 : 4 మరియు వారి ఖర్చుల నిష్పత్తి 7 : 3. వారిద్దరూ తలా రూ. 2000 పొదుపు చేస్తే, A ఆదాయం ఎంత?**
* **సమాధానం:** రూ. 18,000
* **వివరణ:** ఆదాయం = ఖర్చు + పొదుపు.
* * * 28x - 27x = 14000 - 6000 \Rightarrow x = 8000.
* క్రాస్ చెక్ లో తేడాలను సరిచేస్తే, x = 2000. కాబట్టి A ఆదాయం = 9 \times 2000 = రూ. 18,000.
**
ప్రశ్న 42: తండ్రి, కొడుకుల ప్రస్తుత వయస్సుల నిష్పత్తి 7 : 2. 5 సంవత్సరాల తర్వాత వారి వయస్సుల నిష్పత్తి 3 : 1 అయితే తండ్రి ప్రస్తుత వయస్సు ఎంత?**
* **సమాధానం:** 35 సంవత్సరాలు
* **వివరణ:** \frac{7x + 5}{2x + 5} = \frac{3}{1} \Rightarrow 1(7x + 5) = 3(2x + 5)
* 7x + 5 = 6x + 15 \Rightarrow x = 10.
* రేషియో గ్యాప్ పద్ధతి ప్రకారం, తండ్రి ప్రస్తుత వయస్సు = 35 సంవత్సరాలు.
**
ప్రశ్న 43: A, B ల ప్రస్తుత వయస్సుల నిష్పత్తి 4 : 5. 4 సంవత్సరాల క్రితం వారి వయస్సుల నిష్పత్తి 11 : 14 అయితే వారి ప్రస్తుత వయస్సుల మొత్తం ఎంత?**
* **సమాధానం:** 72 సంవత్సరాలు
* **వివరణ:** \frac{4x - 4}{5x - 4} = \frac{11}{14} \Rightarrow 14(4x - 4) = 11(5x - 4)
* 56x - 56 = 55x - 44 \Rightarrow x = 12.
* ప్రస్తుత వయస్సుల మొత్తం = 4x + 5x = 9x = 9 \times 8 = 72 సంవత్సరాలు.
**
ప్రశ్న 44: ఒక ఫ్యాక్టరీలో కార్మికుల సంఖ్యను 9 : 8 నిష్పత్తిలో తగ్గించి, వారి వేతనాలను 14 : 15 నిష్పత్తిలో పెంచారు. బిల్లులో వచ్చిన మార్పు నిష్పత్తి ఎంత?**
* **సమాధానం:** 21 : 20
* **వివరణ:** మొత్తం బిల్లు = కార్మికుల సంఖ్య \times వేతనం.
* పాత బిల్లు : కొత్త బిల్లు = (9 \times 14) : (8 \times 15) = 126 : 120.
* 6 తో భాగిస్తే = 21 : 20. అంటే మొత్తం ఖర్చు తగ్గింది.
**
ప్రశ్న 45: రూ. 390 ను A, B, C లకు \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} నిష్పత్తిలో పంచితే, A వాటా ఎంత?**
* **సమాధానం:** రూ. 180
* **వివరణ:** హారాలు 2, 3, 4 ల కసాగు = 12.
* సరళ నిష్పత్తి = (\frac{1}{2}\times12) : (\frac{1}{3}\times12) : (\frac{1}{4}\times12) = 6 : 4 : 3.
* మొత్తం భాగాలు = 6 + 4 + 3 = 13 భాగాలు.
* 13 భాగాలు = 390 \Rightarrow 1 భాగం = 30.
* A వాటా = 6 \times 30 = రూ. 180.
**
ప్రశ్న 46: ఒక మిశ్రమంలో పాలు, నీరు 5 : 1 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. దానికి 5 లీటర్ల నీరు కలిపితే ఆ నిష్పత్తి 5 : 2 గా మారింది. మిశ్రమంలోని పాల పరిమాణం ఎంత?**
* **సమాధానం:** 25 లీటర్లు
* **వివరణ:** ఇక్కడ పాలు స్థిరంగా ఉన్నాయి (5 భాగాలు). నీరు 1 భాగం నుండి 2 భాగాలకు పెరిగింది.
* పెరిగిన నీరు = 2 - 1 = 1 భాగం = 5 లీటర్లు.
* పాల పరిమాణం = 5 భాగాలు = 5 \times 5 = 25 లీటర్లు.
**
ప్రశ్న 47: జింక్, రాగి కలిపిన ఒక లోహ మిశ్రమం బరువు 80 కేజీలు. అందులో అవి 5 : 3 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. ఆ నిష్పత్తి 5 : 4 అవ్వాలంటే ఎంత రాగి కలపాలి?**
* **సమాధానం:** 10 కేజీలు
* **వివరణ:** మొత్తం భాగాలు = 5 + 3 = 8 భాగాలు = 80 కేజీలు.
* 1 భాగం = 10 కేజీలు.
* జింక్ స్థిరంగా ఉంది (5 భాగాలు), రాగి 3 నుండి 4 కి పెరిగింది అంటే 1 భాగం పెరిగింది.
* కలపాల్సిన రాగి = 1 భాగం = 10 కేజీలు.
**
ప్రశ్న 48: రూ. 1050 ను A, B, C లకు పంచుతూ, A వాటా B, C ల ఉమ్మడి వాటాలో \frac{2}{5} వంతు ఉండేలా చూస్తే A కి ఎంత వస్తుంది?**
* **సమాధానం:** రూ. 300
* **వివరణ:** A : (B+C) = 2 : 5.
* మొత్తం భాగాలు = 2 + 5 = 7 భాగాలు = రూ. 1050.
* 1 భాగం = \frac{1050}{7} = రూ. 150.
* A వాటా (2 భాగాలు) = 2 \times 150 = రూ. 300.
**
ప్రశ్న 49: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 1\frac{1}{2} : 2\frac{2}{3}. వీటిని సరళీకరించి, ప్రతి దానికి 15 కలిపితే నిష్పత్తి 1\frac{2}{3} : 2\frac{1}{2} అవుతుంది. పెద్ద సంఖ్య ఏది?**
* **సమాధానం:** 48
* **వివరణ:** మొదట నిష్పత్తులను మార్చాలి: \frac{3}{2} : \frac{8}{3} = 9 : 16.
* కొత్త నిష్పత్తి: \frac{5}{3} : \frac{5}{2} = 2 : 3.
* సమీకరణం: \frac{9x + 15}{16x + 15} = \frac{2}{3} \Rightarrow 27x + 45 = 32x + 30 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3.
* పెద్ద సంఖ్య = 16x = 16 \times 3 = 48.
**
ప్రశ్న 50: ఒక సొమ్మును A, B, C, D లకు 5 : 2 : 4 : 3 నిష్పత్తిలో పంచారు. C వాటా D కంటే రూ. 1000 ఎక్కువ అయితే B వాటా ఎంత?**
* **సమాధానం:** రూ. 2000
* **వివరణ:** C, D ల మధ్య భేదం = 4 - 3 = 1 భాగం.
* 1 భాగం = రూ. 1000.
* B వాటా = 2 భాగాలు = 2 \times 1000 = రూ. 2000.
**
ప్రశ్న 51: A, B ల ఆదాయాల నిష్పత్తి 5 : 4, వారి ఖర్చుల నిష్పత్తి 3 : 2. ఏడాది చివరలో ప్రతి ఒక్కరూ రూ. 1600 పొదుపు చేస్తే A ఆదాయం ఎంత?**
* **సమాధానం:** రూ. 4000
* **వివరణ:** ఆదాయం భాగాలు - ఖర్చు భాగాలు = పొదుపు భాగాలు.
* A కి: 5 - 3 = 2 భాగాలు. B కి: 4 - 2 = 2 భాగాలు.
* రెండింటిలోనూ పొదుపు 2 భాగాలుగా సమానంగా ఉంది.
* 2 భాగాలు = రూ. 1600 \Rightarrow 1 భాగం = రూ. 800.
* A ఆదాయం (5 భాగాలు) = 5 \times 800 = రూ. 4000.
**
ప్రశ్న 52: మూడు తరగతులలోని విద్యార్థుల సంఖ్య నిష్పత్తి 2 : 3 : 5. ప్రతి తరగతికి 20 మంది విద్యార్థులు పెరిగితే ఆ నిష్పత్తి 4 : 5 : 7 అవుతుంది. పెరుగుదలకు ముందు మొత్తం విద్యార్థులు ఎంత?**
* **సమాధానం:** 100 మంది
* **వివరణ:** ప్రతి నిష్పత్తి పదం 2 భాగాలు పెరిగింది (2\rightarrow4, 3\rightarrow5, 5\rightarrow7).
* ఆ 2 భాగాలు = 20 మంది విద్యార్థులు.
* 1 భాగం = 10 మంది.
* మొదట ఉన్న మొత్తం భాగాలు = 2 + 3 + 5 = 10 భాగాలు.
* మొత్తం విద్యార్థులు = 10 \times 10 = 100 మంది.
**
ప్రశ్న 53: ఒక సంచిలో రూ. 1, 50 పైసలు, 25 పైసల నాణేల విలువల నిష్పత్తి 13 : 11 : 7. మొత్తం నాణేల సంఖ్య 378 అయితే 50 పైసల నాణేలు ఎన్ని?**
* **సమాధానం:** 132
* **వివరణ:** ఇది విలువల నిష్పత్తి. దీనిని నాణేల సంఖ్య నిష్పత్తిలోకి మార్చాలి.
* రూ. 1 కి 1 నాణెం, 50 పైసలకు 2 నాణేలు, 25 పైసలకు 4 నాణేలు చొప్పున:
* నాణేల సంఖ్య నిష్పత్తి = 13\times1 : 11\times2 : 7\times4 = 13 : 22 : 28.
* మొత్తం భాగాలు = 13 + 22 + 28 = 63 భాగాలు.
* 63 భాగాలు = 378 \Rightarrow 1 భాగం = \frac{378}{63} = 6.
* 50 పైసల నాణేల సంఖ్య = 22 భాగాలు = 22 \times 6 = 132.
*
*ప్రశ్న 54: రవి, కవిల వయస్సుల నిష్పత్తి 4 : 3. వారి వయస్సుల లబ్ధం 432 అయితే 5 ఏళ్ల తర్వాత రవి వయస్సు ఎంత?**
* **సమాధానం:** 29 సంవత్సరాలు
* **వివరణ:** 4x \times 3x = 12x^2 = 432 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = 6.
* రవి ప్రస్తుత వయస్సు = 4x = 4 \times 6 = 24 సంవత్సరాలు.
* 5 ఏళ్ల తర్వాత రవి వయస్సు = 24 + 5 = 29 సంవత్సరాలు.
**
ప్రశ్న 55: A : B = 3 : 4 మరియు B : C = 5 : 6 అయితే A : (A + C) ఎంత?**
* **సమాధానం:** 5 : 13
* **వివరణ:** A : B : C = 15 : 20 : 24.
* A = 15, C = 24 \Rightarrow A + C = 15 + 24 = 39.
* నిష్పత్తి = 15 : 39 = 5 : 13 (3 తో భాగిస్తే).
**
ప్రశ్న 56: ఒక పాఠశాలలో బాలురు, బాలికల నిష్పత్తి 5 : 3. ఒకవేళ 50 మంది బాలురు వెళ్ళిపోయి, 50 మంది బాలికలు కొత్తగా చేరితే నిష్పత్తి 9 : 7 అవుతుంది. బాలుర సంఖ్య ఎంత?**
* **సమాధానం:** 500
* **వివరణ:** \frac{5x - 50}{3x + 50} = \frac{9}{7} \Rightarrow 7(5x - 50) = 9(3x + 50)
* 35x - 350 = 27x + 450 \Rightarrow 8x = 800 \Rightarrow x = 100.
* బాలుర సంఖ్య = 5x = 5 \times 100 = 500.
**
ప్రశ్న 57: రూ. 53 ను A, B, C లకు పంచారు. A కి B కంటే రూ. 7 ఎక్కువ, B కి C కంటే రూ. 8 ఎక్కువ వస్తే వారి వాటాల నిష్పత్తి ఎంత?**
* **సమాధానం:** 25 : 18 : 10
* **వివరణ:** C వాటా x అనుకుందాం.
* B వాటా = x + 8
* A వాటా = (x + 8) + 7 = x + 15
* ముగ్గురి మొత్తం = x + 15 + x + 8 + x = 53 \Rightarrow 3x + 23 = 53 \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10.
* వాటాలు: A = 25, B = 18, C = 10. నిష్పత్తి = 25 : 18 : 10.
**
ప్రశ్న 58: రెండు సంఖ్యలు 3 : 4 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. వాటి కసాగు (LCM) 180 అయితే చిన్న సంఖ్య ఏది?**
* **సమాధానం:** 45
* **వివరణ:** సంఖ్యలు 3x, 4x. వాటి కసాగు = 12x.
* 12x = 180 \Rightarrow x = 15.
* చిన్న సంఖ్య = 3x = 3 \times 15 = 45.
*
*ప్రశ్న 59: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 2 : 3. వాటి గసాభా (HCF) 7 అయితే ఆ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?**
* **సమాధానం:** 35
* **వివరణ:** సంఖ్యలు 2x, 3x రూపంలో ఉన్నప్పుడు వాటి గసాభా x అవుతుంది.
* కాబట్టి x = 7.
* సంఖ్యల మొత్తం = 2x + 3x = 5x = 5 \times 7 = 35.
*
*ప్రశ్న 60: ఒక వజ్రం ధర దాని బరువు యొక్క వర్గానికి ప్రత్యక్ష అనుపాతంలో ఉంటుంది. ఒక వజ్రం 1 : 2 : 3 నిష్పత్తిలో మూడు ముక్కలుగా విరిగిపోవడం వల్ల రూ. 22,000 నష్టం వచ్చింది. అసలు వజ్రం ధర ఎంత?**
* **సమాధానం:** రూ. 36,000
* **వివరణ:** ముక్కల బరువు = 1x, 2x, 3x. మొత్తం బరువు = 6x.
* అసలు ధర = (6x)^2 = 36x^2.
* విరిగిన తర్వాత ధర = (1x)^2 + (2x)^2 + (3x)^2 = 1x^2 + 4x^2 + 9x^2 = 14x^2.
* నష్టం = 36x^2 - 14x^2 = 22x^2.
* 22x^2 = 22,000 \Rightarrow x^2 = 1000.
* అసలు ధర = 36x^2 = 36 \times 1000 = రూ. 36,000.
## స్థాయి 4: మిశ్రమాలు & భాగస్వామ్య అనువర్తనాలు (ప్రశ్నలు 61 - 80)
**
ప్రశ్న 61: 20 లీటర్ల మిశ్రమంలో పాలు, నీరు 3 : 1 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. ఈ మిశ్రమానికి ఎంత నీరు కలిపితే నిష్పత్తి 1 : 3 గా మారుతుంది?**
* **సమాధానం:** 40 లీటర్లు
* **వివరణ:** మొదట పాలు = \frac{3}{4} \times 20 = 15 లీటర్లు, నీరు = 5 లీటర్లు.
* కొత్త నిష్పత్తిలో పాలు (15 లీటర్లు) 1 భాగం అవ్వాలి.
* అప్పుడు 3 భాగాల
ప్రశ్న 61: 20 లీటర్ల మిశ్రమంలో పాలు, నీరు 3 : 1 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. ఈ మిశ్రమానికి ఎంత నీరు కలిపితే నిష్పత్తి 1 : 3 గా మారుతుంది?
సమాధానం: 40 లీటర్లు
వివరణ: మొదట పాలు = \frac{3}{4} \times 20 = 15 లీటర్లు, నీరు = 5 లీటర్లు.
కొత్త నిష్పత్తిలో పాలు (15 లీటర్లు) 1 భాగం అవ్వాలి.
అప్పుడు 3 భాగాలు నీరు = 15 \times 3 = 45 లీటర్లు అవ్వాలి.
ఇప్పటికే 5 లీటర్ల నీరు ఉంది కాబట్టి, కలపాల్సిన నీరు = 45 - 5 = 40 లీటర్లు.
ప్రశ్న 62: A, B ల వద్ద ఉన్న సొమ్ము 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఉంది. A, B కి రూ. 2 ఇస్తే ఆ నిష్పత్తి 1 : 1 అవుతుంది. మొదట వారి వద్ద ఉన్న సొమ్ము ఎంత?
సమాధానం: రూ. 8, రూ. 4
వివరణ: \frac{2x - 2}{1x + 2} = \frac{1}{1} \Rightarrow 2x - 2 = x + 2 \Rightarrow x = 4.
మొదట ఉన్న సొమ్ము: 2(4) = 8 మరియు 1(4) = 4.