ప్రశ్న : ఒక చతురస్రం లోపల మరో చతురస్రం ఉండి, రెండింటికీ కర్ణాలు (Diagonals) ఉంటే ఎన్ని త్రిభుజాలు ఉంటాయి?
వివరణ:
లోపలి చతురస్రంలో 8 చిన్న త్రిభుజాలు ఉంటాయి: 8 * 2 = 16
బయటి చతురస్రంలో కూడా 8 భాగాలు ఉంటాయి: 8 * 2 = 16
మొత్తం: 16 + 16 = 32
జవాబు: 32
1. త్రిభుజాలను లెక్కించడం (Counting Triangles) -
నమూనా 1: నిలువు వరుసలు ఉన్నప్పుడు
ఒక త్రిభుజం లోపల n నిలువు వరుసలు ఉంటే, ఆ భాగాలన్నింటినీ కూడాలి.
ప్రశ్న 1: ఒక త్రిభుజం 2 భాగాలుగా విడదీయబడింది (1, 2). మొత్తం త్రిభుజాలు?
జవాబు: 1 + 2 = 3
ప్రశ్న 2: ఒక త్రిభుజం 3 నిలువు భాగాలుగా ఉంటే?
జవాబు: 1 + 2 + 3 = 6
ప్రశ్న 3: ఒక త్రిభుజం 4 నిలువు భాగాలుగా ఉంటే?
జవాబు: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
ప్రశ్న 4: ఒక త్రిభుజం 5 నిలువు భాగాలుగా ఉంటే?
జవాబు: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
ప్రశ్న 5 - 10: ఇదే సూత్రంతో భాగాలు పెరుగుతున్న కొద్దీ సంఖ్య పెరుగుతుంది (ఉదా: 6 భాగాలు = 21, 7 భాగాలు = 28).
నమూనా 2: అడ్డ వరుసలు (Horizontal Lines) ఉన్నప్పుడు
ప్రశ్న 11: ఒక త్రిభుజంలో 3 అడ్డ వరుసలు ఉంటే?
జవాబు: 3 (ఎన్ని అడ్డ వరుసలు ఉంటే అన్ని త్రిభుజాలు).
ప్రశ్న 12: 5 అడ్డ వరుసలు ఉంటే?
జవాబు: 5.
నమూనా 3: చతురస్రం లోపల త్రిభుజాలు
సూత్రం: భాగాలు \times 2
ప్రశ్న 13: ఒక చతురస్రాన్ని 4 భాగాలుగా (X ఆకారం) చేస్తే?
జవాబు: 4 \times 2 = 8
ప్రశ్న 14: ఒక చతురస్రాన్ని 8 భాగాలుగా చేస్తే?
జవాబు: 8 \times 2 = 16
2. చతురస్రాలను లెక్కించడం (Counting Squares)
నమూనా: n \times n గ్రిడ్ (వరుసలు = కాలమ్స్)
సూత్రం: 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2
ప్రశ్న 21: 2 \times 2 గ్రిడ్లో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయి?
జవాబు: 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5
ప్రశ్న 22: 3 \times 3 గ్రిడ్లో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయి?
జవాబు: 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14
ప్రశ్న 23: 4 \times 4 గ్రిడ్లో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయి?
జవాబు: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30
ప్రశ్న 24: 5 \times 5 గ్రిడ్లో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయి?
జవాబు: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55
నమూనా: m \times n గ్రిడ్ (వరుసలు \neq కాలమ్స్)
సూత్రం: (m \times n) + (m-1 \times n-1) + ...
ప్రశ్న 25: 3 \times 2 గ్రిడ్లో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయి?
జవాబు: (3 \times 2) + (2 \times 1) = 6 + 2 = 8
ప్రశ్న 26: 4 \times 3 గ్రిడ్లో?
జవాబు: (4 \times 3) + (3 \times 2) + (2 \times 1) = 12 + 6 + 2 = 20
3. దీర్ఘచతురస్రాలను లెక్కించడం (Counting Rectangles)
సూత్రం: వరుసల మొత్తం * కాలమ్స్ మొత్తం
ప్రశ్న 36: 2 \times 2 గ్రిడ్లో ఎన్ని దీర్ఘచతురస్రాలు ఉన్నాయి?
జవాబు: (1+2) \times (1+2) = 3 \times 3 = 9
ప్రశ్న 37: 3 \times 3 గ్రిడ్లో?
జవాబు: (1+2+3) \times (1+2+3) = 6 \times 6 = 36
ప్రశ్న 38: 4 \times 2 గ్రిడ్లో?
జవాబు: (1+2+3+4) \times (1+2) = 10 \times 3 = 30
ప్రశ్న 39: 5 \times 3 గ్రిడ్లో?
జవాబు:
(1+2+3+4+5) \times (1+2+3) = 15 \times 6 = 90